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Tuto — EM dans le modèle de mélange

Auteur

Cadre — MSO 3.7, Apprentissage bayésien, tuto en autonomie entre les séances #3 (cours mélange + EM) et #5 (TP HMC noté).

Objectifs

Mettre EM en pratique sur le modèle de mélange gaussien : estimer \((\pi_k, \mu_k, \sigma_k^2)\) depuis une image bruitée sans connaître les labels, puis classer par décision bayésienne. Le tuto fait directement écho à la section Sensibilité aux paramètres du TP de la séance #2, et prépare le TP HMC (séance #5).

Format

Autonomie facile : un notebook unique Tuto_MM.ipynb, tout le code est fourni — il suffit d’exécuter les cellules dans l’ordre et de lire les questions insérées en cours de route.

Pré-requis : numpy, scipy, matplotlib, Pillow. Ouvrez dans VS Code (extensions Python + Jupyter) ou Jupyter.

Récupération

Téléchargez et décompressez Tuto_MM.zip :

Tuto_MM/
├── Tuto_MM.ipynb         # le tuto (à exécuter)
├── sources/              # cible_64.png, cible_128.png, lapin.png
└── results/              # vide — vos sorties iront ici

Ouvrez Tuto_MM.ipynb dans VS Code et lancez Run All.

Vue d’ensemble

§ Contenu
0 Imports + paramètres (vrais paramètres du bruit, gardés pour vérifier EM a posteriori)
1 Chargement image, bruitage, helpers (réutilisés depuis le TP de la séance #2)
2 Initialisation des paramètres pour EM (heuristique min/max/var)
3 E-step (responsabilités \(\gamma_n(k)\)) et M-step (mise à jour) — entièrement vectorisés
4 Boucle EM (70 itérations), historique des paramètres et de la log-vraisemblance
5 Courbes de convergence : log-vraisemblance, \(\mu_k\), \(\sigma_k^2\), taux d’erreur
6 Classification finale (EM vs oracle), histogramme + mélange estimé
7 Démo \(K = 3\) — image synthétique anneaux concentriques, EM tourne sans modification

Trois questions de réflexion sont insérées dans le notebook : pas de réponse à rendre, juste un guide d’observation.

Évaluation

Pas de CR. Ce tuto prépare directement le TP HMC (séance #5, noté).