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%Engligh
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
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%French
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%
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\author{Philippe Michel}
\date{\today}
\title{\LARGE Cours Analyse Appliquée}

\begin{document}

\Huge



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%FORMAT DUN SLIDE%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Réseaux de Neurones }\end{center}
$$\;$$
$$\;$$
\noindent - Petite histoire des réseaux de neurones artificiels \\
\\
\noindent - Modélisations Mathématiques et informatiques \\
\\
\noindent - Applications

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque 19ème : (Essor scientifique - Mary Shelley)\\

\includegraphics[height=7cm]{19emeI1.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{19emeI2.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{FRANK.jpg}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque 19ème : (Essor scientifique - Mary Shelley)\\
\\
- Alexander Bain (1873), William James (1890) : la pensée et toute activité (se déplacer...) résultent des interactions des neurones dans le cerveau
\\
\\
- Bain : répétition $\Rightarrow$ effet mémoire (via renforcement des connections) \\
\\
- James : flot électrique $\Rightarrow$ effet mémoire ($\not=$ Bain)

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque début-mi 20ème : \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{RN7.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{RN5.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN4.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : (EdWood, Nucléaire, DDT, portal 2...)\\
\\
\includegraphics[height=7cm]{jacquetteEW1.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{jacquetteEW2.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{TGC.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{NUCLEAR.jpg}
\includegraphics[height=7cm,width=7cm,]{DDT.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{Portal2.jpg}



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : Einstein, John Von Neumann, Weil, Dieudonné... (Bourbaki) \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{Einstein.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{JVN.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{Bourbak.png}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : \\
\\
- McCulloch et Pitts (1943) : modèle mathématique de neurones (logique)\\
\\
Principe : un neurone prend la valeur 0 ou 1 (vrai/faux) :
$$
a_i=\left\{\begin{array}{l} 1,\quad si\quad \sum_{j\in \mathcal C^{exitateur}_j} a_j>\theta_i\quad   \sum_{j\in \mathcal C^{inhibiteur}_j} a_j=0\\ 0\quad sinon\end{array}\right.
$$
$\;$\\
1) Pondération $\Leftarrow$ influence $\pm$ grande d'un neurone sur un autre\\
2) Réponse moins raide $\Leftarrow$ contiunuum de réponse

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{RN7.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN4.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{RN5.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN10.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{RN1.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN2.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{RN5.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN10.jpg}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{RN1.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN2.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{RN5.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RN11.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque mi 20ème : \\
\\
- Donald Hebb (1940), sur l'apprentissage non supervisé (modif. des coeff. de pondération pendant le processus d'aprentissage)\\
\\
- Franck Rosenblatt (1957) : modèle du perceptron. Capable d'apprendre par l'expérience.
$$
a_i=\left\{\begin{array}{l} 1,\quad si\quad \sum_j w_{ji}a_j\geq\theta_i\\ 0\quad sinon\end{array}\right.
$$
$$
w'_{ji}=w_{ji}+\textrm{ Pas d'apprentissage}(a_i^{th.}-a_i).a_i
$$

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque 2/3- 20ème : \\
- Khrouchtchev, Kennedy \\
- Roy Lichtenstein, andy Warhol
\\
\includegraphics[height=7cm]{KKen.jpg}


\includegraphics[height=7cm]{War.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RL.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque 2/3- 20ème : \\
\\

\includegraphics[height=7cm]{FALLOUT2.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{Rapt1.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{NOLF.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{Bat.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{god.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque 2/3- 20ème : \\
\\
Marvin Lee Minsky et Seymour Papert (1969), limitations théoriques du Perceptron. Impossibilité de traiter des pb. non linéaires...
\\
\\
\includegraphics[height=10cm]{RIP.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque fin 20ème : Fin URSS... E.T., Retour vers le futur \\
\\
\includegraphics[height=7cm]{TCHER.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{mur2.jpg}

%\includegraphics[height=7cm]{MJ.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{RVLF.jpg}
\includegraphics[height=7cm]{SW.jpg}
%\includegraphics[height=7cm]{INDI.jpg}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque fin 20ème : \\
\\

\includegraphics[height=7cm]{MAC.jpg}

\includegraphics[height=7cm]{RIPr.jpg}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque fin 20ème : \\
\\
- Werbos, Rumelhart (1986), Perceptron Multicouche, rétropropagation du gradient de l'erreur...\\
\\
- John Joseph Hopfield (1982), Modèle récurrent

$$
a_i^{n+1}=\left\{\begin{array}{l} 1,\quad si\quad \sum_j w_{ji}a_j\geq\theta_i\\ -1\quad sinon\end{array}\right.
$$
$(w_{ji})_{i,j}$ symétrique positive ! permet de définir une énergie (Lyapunov) 
$$
E=-1/2 \sum_{i,j} w_{i,j} a_i^na_j^n+\sum_i a^n_i\theta_i
$$
CONVERGENCE DU RESEAU

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Epoque fin 20ème : \\
\\
Un réseau de neurones est caractérisé par :\\
\\
- une temporisation des événements : ex : temps discret - sans retard\\
- $N$ neurones\\
- $x_{ij}$ la quantité de messager entre le neurone $i$ et le neurone $j$\\
- $w_{ij}$ la pondération de la quantité de messager allant du neurone $i$ vers le neurone $j$\\
- $\phi$ le type de fonction réponse : Seuil; Linéaire; Sigmoïde; Probabiliste. 

$$
x_{jk}(temps\;n)=\phi(\sum_i w_{ij}x_{ij}(temps\;n-1)).
$$

\newpage

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Type de réponse possible : {\bf SEUIL} :\\
- Si la quantité est trop faible il n'y pas de réponse ($y=0$)\\
- Si elle est trop forte il y a saturation ($y=1$)

\includegraphics[width=20cm,height=11cm]{porte.jpg}


\newpage

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Type de réponse possible : {\bf LINEAIRE} saturée\\
- Si la quantité est trop faible il n'y pas de réponse ($y=0$)\\
- Si elle est trop forte il y a saturation ($y=1$)\\
- Entre les deux, il y a une réponse proportionnelle à la quantité de messagers ($y=C(w1x1+w2x2)$)

\includegraphics[width=20cm,height=9cm]{lineaire.jpg}

\newpage


\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Type de réponse possible : {\bf SIGMOIDE} \\
- Si la quantité est trop faible il n'y {\it presque} pas de réponse ($y\sim0$)\\
- Si elle est trop forte il y a saturation ($y\sim1$)\\
- Entre les deux, il y a une réponse plus ou moins marquée (paramètre de la sigmoïde)

\includegraphics[width=11cm,height=9cm]{sigmoide1.jpg}
\includegraphics[width=11cm,height=9cm]{sigmoide2.jpg}

\newpage


\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}

Type de réponse possible : {\bf PROBABILISTE} \\
- $y=1$ avec une probabilité $p$\\
- $y=0$ avec une probabilité $1-p$\\
La probabilité dépend de la quantité de messagers

\newpage


\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}


Un réseau de neurones est caractérisé par :\\
\\
- une temporisation des événements : ex : temps discret - sans retard\\
- $N$ neurones\\
- $x_{ij}$ la quantité de messager\\
- $w_{ij}$ la pondération de la quantité de messager\\
- $\phi$ le type de fonction réponse. \\
- apprentissage : les poids $w_{ij}$ sont modifiés si la réponse en sortie est "mauvaise"

$$
x_{jk}(temps\;n)=\phi(\sum_i w_{ij}(RESULTAT)x_{ij}(temps\;n-1)).
$$

\newpage

\begin{center}{\Huge\bf Petite histoire des réseaux de neurones artificiels }\end{center}


Un réseau de neurones est caractérisé par :\\
\\
- apprentissage : les poids $w_{ij}$ sont modifiés si la réponse en sortie est "mauvaise"
$$
x_{jk}(temps\;n)=\phi(\sum_i w_{ij}(RESULTAT)x_{ij}(temps\;n-1)).
$$
$\;$\\
1) Méthode du gradient\\
2) Méthode probabiliste (Monte Carlo)\\
...\\
 x) Algorithme Génétique 


\newpage

\begin{center}{\Huge\bf OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
$\;$\\
\\ AVANTAGES\\
\\
1. Optimise avec paramètres discrets ou continus.\\
\\
2. Pas besoin de régularité (Newton, Gradient...).\\ 
\\
3. Marche lorsqu'il y a un grand nombre de variables. \\
\\
4. Parallélisable...

\pagebreak[4]

\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : APPLICATIONS}\end{center}


APPLICATIONS :\\
\\
a) Reconnaissance de Forme \\
\\
b) Traitement d'image\\
\\
c) Transformations mathématiques (ex: transfo de Fourier, traitement du signal)\\
\\
d) Prédiction et contrôle\\
\\
e) psychologie, linguistique...

%\pagebreak[4]
%\begin{center}{\Huge\bf   Principe "Biologique"$\to$ Modélisation }\end{center}
%
%
%
%\includegraphics[width=20cm,height=7cm]{RN1.jpg}
%
%\includegraphics[width=10cm,height=7cm]{RN4.jpg}
%\includegraphics[width=10cm,height=7cm]{RN6.jpg}
%
%\pagebreak[4]
%
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%Un neurone reçoit des informations des autres neurones : "messagers chimiques". Par exemple, il reçoit ici 
%
%\includegraphics[width=20cm,height=10cm]{RN10.jpg}
%
%une quantité $x1$ d'un neurone et $x2$ d'un autre.
%\pagebreak[4]
%
%
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%La sensibilité peut être différente suivant l'axone et le neurone
%
%\includegraphics[width=20cm,height=10cm]{RN11.jpg}
%
%réagit à la quantité pondéré : $w1x1+w2x2$.
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%La réponse $y$ est une fonction $\phi$ de la quantité de messager "pondérée" : $w1x1+w2x2$.
%
%\includegraphics[width=20cm,height=10cm]{RN13.jpg}
%
%
%\pagebreak[4]
%\pagebreak[4]
%
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%Dans un réseau de neurones, il y a "beaucoup" de neurones interconnectés. \\
%i) Les neurones qui reçoivent l'information de l'extérieur  
%
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{RN3.jpg}
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{input1.jpg}
%
%
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%Dans un réseau de neurones, il y a "beaucoup" de neurones interconnectés. \\
%i) Les neurones qui reçoivent l'information de l'extérieur  
%
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{RN3.jpg}
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{input2.jpg}
%
%
%\pagebreak[4]
%
%
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%Dans un réseau de neurones, il y a "beaucoup" de neurones interconnectés. \\
%ii) Des neurones "cachés" qui traitent l'information
%
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{RN3.jpg}
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{input3.jpg}
%
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%Dans un réseau de neurones, il y a "beaucoup" de neurones interconnectés. \\
%iii) Les neurones qui renvoient la réponse finale
%
%
%
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{RN3.jpg}
%\includegraphics[width=10cm,height=11cm]{input4.jpg}
%
%
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf   Réseaux de Neurones : Modélisation Mathématique}\end{center}
%
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf  OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
%$\;$\\
%L'algorithme en lui même : DARWIN\\ 
%1. Créer une population initiale (aléatoirement).\\ 
%2. Evaluer la "ﬁtness" de chaque membre de la population.
%3. Sélection naturelle : reproduction des plus adaptés\\
%4. Générer les enfants. \\
%5. Mutation de quelques individus. \\
%6. Arrêt si fitness assez bonne ou retour à l'étape 2.
%
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf  OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
%
%\includegraphics[width=15cm,height=13cm]{GenAlgo1.jpg}
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf  OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
%
%\includegraphics[width=15cm,height=13cm]{GenAlgo2.jpg}
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf  OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
%
%\includegraphics[width=15cm,height=13cm]{GenAlgo3.jpg}
%\pagebreak[4]
%
%\begin{center}{\Huge\bf  OPTIMISATION : Algorithme Génétique  }\end{center}
%
%\includegraphics[width=15cm,height=13cm]{GenAlgo4.jpg}
%
%\pagebreak[4]

\newpage 

\begin{center}{\Huge\bf  Mise en oeuvre : avant TD  }\end{center}
$\;$\\
- Image bmp : noir et blanc / 30*30 pixels : \\
 traitement d'image / reconnaissance de forme \\
- Reseaux de neuronnes et Algo génétique\\
- Modèle informatique\\
- Choix du langage\\
- ... 

\end{document}

