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\title{NdC PXI-Orsay: Fonctions Holomorphes}
\author{Philippe MICHEL}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\chapter{Définitions et premières propriétés}

\section{Définitions et bases}

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$.

\begin{definition}$\;$\\
- La fonction $f$ est {\bf dérivable} par rapport à $z$ en $z_0$ si et seulement si la limite $\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ existe dans $\mathbb C$ et on note $f'(z_0)$ cette limite.\\
\\
- La fonction $f$ est {\bf Holomorphe} sur $\Omega$ si et seulement si $f$ est dérivable par rapport à $z$ sur $\Omega$ : on note ${\bf\mathcal H(\Omega)}$ l'ensemble des fonctions holomorphe sur $\Omega$.
\end{definition}



\begin{proposition}$\;$\\
- $\mathcal H(\Omega)$ est un $\mathbb C$ espace vectoriel.\\
\\
- Si $f,g\in\mathcal H(\Omega)$ alors $fg\in \mathcal H(\Omega)$ et $(fg)'=f'g+fg'$.\\
\\
- Si $f\in\mathcal H(\Omega)$ et ne s'annule pas sur $\Omega$ alors $1/f\in \mathcal H(\Omega)$ et $(1/f)' =-f'/f^2$.\\
\\
- Si $g\in\mathcal H(\Omega)$ et $f\in\mathcal H(g(\Omega))$ alors $fog\in\mathcal H(\Omega)$ et $(fog)'=g' f'og$.\\
\\
- $f:z\to z^n$ est $\mathcal H(\mathbb C)$ et $f'(z_0)=nz^{n-1}_0$.\\
\\
- Soit la série $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$ alors $f\in\mathcal H(Boule(0,R))$ et $f'(z)=\sum_0^\infty na_nz^{n-1}$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
Seule la dernière propriété est non triviale (les autres sont hérités de la notion de dérivation). \\
\\
\paragraph{Etape 1.} Soit $R_0<R_1<R$, alors la série converge normalement sur la boule de centre $0$ et de rayon $R_0$ : $B(0,R_0)$. En effet, puisque la série converge pour $z=R_1$, le terme général de la série : $a_n R_1^n$ converge vers $0$ donc la suite $\mid a_n R_1^n \mid$ est borné par un réel $M>0$. Par conséquent pour tout $z\in B(0,R_0)$, $\mid a_n z^n\mid\leq \mid a_n R_0^n \mid \leq M (\frac{R_0}{R_1})^n$ qui est le terme général d'une série convergente.
\\
\paragraph{Etape 2.} Soit 
$$g_n(z,z_0)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{z_0^n-z^n}{z_0-z},\quad si\;\;z\not=z_0\\
nz_0^{n-1},\quad si\;\;z=z_0
\end{array}\right.
$$
alors on a $\mid g_n(z,z_0)\mid \leq n(\max(\mid z\mid,\mid z_0\mid))^{n-1}.$ En effet, pour $z=z_0$ c'est trivial et sinon
$$
\frac{z_0^n-z^n}{z_0-z}=\sum_{i+j=n-1} z^iz_0^j
$$
donc 
$$
\mid \frac{z_0^n-z^n}{z_0-z}\mid \leq n(\max(\mid z\mid,\mid z_0\mid))^{n-1}.
$$
$\;$\\
\paragraph{Etape 3.} La série de terme général $a_n g_n(z,z_0)$ converge normalement sur $B(0,R_0)$. En effet, on a
$$
\mid a_n g_n(z,z_0)\mid \leq n\mid a_n\mid R_0^{n-1} \leq \frac{1}{R_1} n\mid a_n \mid R_1^n (\frac{R_0}{R_1})^{n-1}\leq \frac{M}{R_1} n(\frac{R_0}{R_1})^{n-1},
$$ 
qui est le terme général d'une série convergente. \\
\paragraph{Etape 4.} On a $g_n\in C^0(B(0,R_0))$ et la série de terme général $a_n g_n(z,z_0)$ converge normalement donc
$$
\sum_{n=0}^\infty a_n g_n(z,z_0)\to_{z\to z_0} \sum_{n=0}^\infty na_n z_0^{n-1},
$$
or, on a
$$
\sum_{n=0}^\infty a_n g_n(z,z_0)\to_{z\to z_0} =\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
$$
donc
$$
f'(z_0)= \sum_{n=0}^\infty na_n z_0^{n-1}.
$$
On a par récurrence que $a_n=f^{(n)}(0)/n!$.\qed
\end{preuve}


\section{Holomorphie et Différentiation}

Soit une fonction de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$, alors on peut l'écrire 
$$
f(z)=P(x,y)+iQ(x,y).
$$
On note que $f$ est dérivable en $z_0$ implique
$$
f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+ o(z-z_0)(z-z_0),
$$
donc pour $z=z_0+h$ avec $h=k+il$ et $f'(z_0)=a+ib$ on trouve que
$$
P(z_0+h)=P(z_0)+[ak-bl]+o(h),\quad Q(z_0+h)=Q(z_0)+[bk+al]+o(h)
$$
et la différentielle de $\left(\begin{array}{l}P\\Q\end{array}\right)$ en $(x,y)$ est 
$$
D_{x,y}\left(\begin{array}{l}P\\Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr}a & -b\\b&a\end{array}\right)
$$ 

avec 
\begin{equation}\label{RelationCauchy}
(relation\;\; de\;\; Cauchy)\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} P=a=\frac{\partial}{\partial y} Q\\
\\
 - \frac{\partial}{\partial x} Q=-b=\frac{\partial}{\partial y} P
\end{array}\right.
\end{equation}

\begin{proposition} $\;$\\
($f:\mathbb C\to\mathbb C$ holomorphe sur $\Omega$)$\Leftrightarrow$ ($(x,y)\to(P,Q)$ différentiable dans $\Omega$ et (\ref{RelationCauchy})).
\end{proposition}
De plus on a 
$$
f'(z_0)=\frac{\partial}{\partial x} P+i\frac{\partial}{\partial x} Q=\frac{\partial}{\partial y} Q-i\frac{\partial}{\partial y} P=\frac{\partial}{\partial x} f=(1/i)\frac{\partial}{\partial y} f.
$$

\begin{remarque}
On a $df=dP+idQ=(\frac{\partial}{\partial x} P dx+\frac{\partial}{\partial y} Q dy)+i(\frac{\partial}{\partial x} Q dx+\frac{\partial}{\partial y} Q dy)$, or $dz=dx+idy$ et $d\bar z=dx-idy$ donc
$$
df=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} f-i\frac{\partial}{\partial y} f)dz+\frac{1}{2}\underbrace{(\frac{\partial}{\partial x} f+i\frac{\partial}{\partial y} f)}_{=0}d\bar z,
$$
et la relation de Cauchy est équivalente à $\frac{\partial}{\partial \bar z} f=0$.
\end{remarque}

\paragraph{Biholomorphie} Soit $f:\Omega\to\Omega'$ alors

\begin{proposition} $\;$\\
$\left\{\begin{array}{l}a-\; f\;\; holomorphe\;\; et\;\; bijective \\b-\;\;f'\;\;ne\;\; s'annule\;\; pas\end{array}\right.\Rightarrow f^{-1}:\Omega'\to\Omega\;\;Holomorphe$
et
$$
(f^{-1})'(f(z))=1/f'(z).
$$
\end{proposition}

\begin{preuve}
Soit $f=P+iQ$, alors le déterminant de la Jacobienne $det(Jac(f))=\mid f'(z)\mid^2=(\frac{\partial}{\partial x}P)^2+(\frac{\partial}{\partial y}Q)^2$ et $Jac^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{lr}a & b\\-b&a\end{array}\right)$ donc 
$$
(f^{-1})'(f(z))=(a-ib)/(a^2+b^2)=1/(a+ib)=1/f'(z).
$$
\qed
\end{preuve}

\begin{exemple}
La fonction exponentielle : on définit l'exponentielle par
\begin{equation}\label{defExp}
e^z=\sum_{n=0}^\infty z^n/n!
\end{equation}
C'est une série convergente de rayon de convergence $R=\infty$ et donc Holomorphe sur $\mathbb C$ et $(e^z)'=e^z$.
\begin{proposition} 
($f\in \mathcal H(\mathbb C)$ et $f'=f$ avec $f(0)=1$)$\Rightarrow $ ($f=Exponentielle$) 
\end{proposition}
\begin{preuve}
On pose $h(z)=f(z)e^{-z}$ alors $h'(z)=0$ dans $\mathbb C$ qui est un ouvert connexe donc $h(z)=Constante=h(0)=1$ et de plus $g(z)=e^{-z}e^z$ est holomorphe sur $\mathbb C$ (ouvert connexe) de dérivée nulle donc $g(z)=g(0)=1$ donc $e^{-z}=1/e^{z}$ et $f(z)=1/e^{-z}=e^z$.\qed

\end{preuve}
\begin{proposition} 
On a $e^{z+w}=e^ze^w$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
On pose $h(z)=e^z+e^{z+w}-e^ze^w$ qui est holomorphe sur $\mathbb C$; alors $h'(z)=e^z+e^{z+w}-e^ze^w=h(z)$ (composition et produit), $h(0)=1$ donc $h(z)=e^z$ par la proposition précédente et $e^{z+w}-e^ze^w=0$ sur $\mathbb C$.\qed
\end{preuve}
\end{exemple}


\begin{exemple}
La fonction Logarithme : on définit le logarithme sur $\mathbb C/\mathbb R_-$ par
\begin{equation}\label{defLOG}
Log(z)=\ln(\mid z\mid)+i Arg(z),
\end{equation}
avec $\mid z\mid=\sqrt{x^2+y^2}$ et
$$
Arg(z)=\left\{\begin{array}{l}
\arctan(y/x),\quad x>0,\\
\\
\pi/2-\arctan(x/y),\quad y>0,
\\
\\
-\pi/2-\arctan(x/y),\quad y<0.
\end{array}\right.
$$
(on note que $\arctan(u)+\arctan(1/u)=\pi/2$)

\begin{proposition} 
$z\to Log(z)$ est une fonction holomorphe sur $\mathbb C/\mathbb R_-$ et 
$$
e^{Log(z)}=z.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
Il suffit de vérifier la relation de Cauchy pour l'Holomorphie et 
$$
Log'(z)=(x-iy)/(x^2+y^2),
$$
donc $f(z)=e^{Log(z)}$ vérifie $(zf'-f)/z^2=0$ et par conséquent $f/z=Cste=f(1)/1=1$.\qed
\end{preuve}
On remarque que l'on peut définir une fonction holomorphe "racine carré" par $\sqrt{z}=e^{Log(z)/2}$ pour $z\in \mathbb C/\mathbb R_-$.
\end{exemple}


\section{Intégration sur un chemin de classe $C^1_m\bigcap C^0$}

\begin{definition}
Soit une fonction $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ de classe $C^1_m\bigcap C^0$, on dit que $\gamma$ est un {\bf paramétrage du chemin} et $\gamma^*=\gamma([a,b])$ est le {\bf chemin support}. 
\end{definition}

\begin{definition}
On définit {\bf l'intégrale le long du chemin $\gamma^*$} par
\begin{equation}\label{defIntChemin}
\int_{\gamma^*} f(z)dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt.
\end{equation}
\end{definition}

\begin{exemple}
Pour $\gamma(t)=e^{it}$ avec $t\in[0,2:pi]$, on a
$$
\int_{C(0,1)} \frac{1}{z}dz=\int_0^\pi e^{-it}ie^{it}dt=2i\pi.
$$
\end{exemple}

\begin{proposition} Cette "intégrale" est \\
\\
a- linéaire (quand tout est bien définit) : $$\int_{\gamma^*} (\alpha f(z)+\beta g(z))dz= \alpha\int_{\gamma^*} f(z)dz+ \beta\int_{\gamma^*} g(z)dz$$
$\;$\\
b- $\mid \int_{\gamma^*} f(z)dz\mid \leq \sup_{\gamma^*} \mid f\mid long(\gamma)$ avec la longueur de $\gamma$ : $long(\gamma):=\int_a^b \mid \gamma'(t)\mid dt$.\\
\\
c- Changement de variable : soit $\phi$ une fonction bijective
$$
\phi:[a',b']\to[a,b]\;\;et\;\;\gamma:[a,b]\to\mathbb C
$$ 
alors
$$
\int_{(\gamma o\phi)^*} f(z)dz=\int_{a'}^{b'}f(\gamma o\phi(t))(\gamma o\phi)'(t)dt=\int_{\gamma^*} f(z)dz.
$$
$\;$\\
d- Concaténation de deux chemins : $\delta:[c,d]\to\mathbb C\;\;et\;\;\gamma:[a,b]\to\mathbb C$; en posant 
$$
\delta+\gamma:\left\{
\begin{array}{l}
\color{white}0\color{black}[a,b]\to \gamma(t)\\
\color{white}0\color{black}[b,b+d-c]\to \delta(t+c-b)
\end{array}
\right.
$$
alors on a
$$
\int_{\gamma+\delta}=\int_\gamma+\int_\delta.
$$
$\;$\\
e- Chemin opposé : soit $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$; en posant $-\gamma:t\in[-b,-a]\to\gamma(-t)$ alors
$$
\int_{-\gamma}=-\int_\gamma.
$$
\end{proposition}

\begin{lemme}\label{lemmaT1}
Soit $f\in C^0(\Omega)$ et $f=F'$ avec $F\in \mathcal H(\Omega)$ alors
$$
\int_{\gamma^*} f(z)dz=F'(\gamma(b))-F'(\gamma(a)).
$$
\end{lemme}

\begin{definition}
Soit $\gamma:[a,b]\to\gamma^*\subset \mathbb C$ un chemin fermé, on définit l'{\bf indice de ce chemin} par
\begin{equation}\label{DefIndice}
z_0\not\in \gamma^*,\quad Ind_\gamma(z_0):=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma^*} \frac{1}{z-z_0} dz.
\end{equation}
\end{definition}


\begin{theoreme}\label{ThIndice}
Soit $\gamma$ un chemin fermé dans $\mathbb C$ alors $Ind_\gamma(z_0)\in\mathbb N$, l'indice est constant dans chaque composante connexe de $\mathbb C/\gamma^*$ et nul dans la composante connexe non borné.
\end{theoreme}
\begin{preuve}$\;$\\
{\bf Etape 1-} Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\mathbb C$ et $\gamma$ un chemin continue de $[a,b]$ dans $\mathbb C$ alors la fonction
$$
F(z):=\int_a^b \frac{f(t)}{\gamma(t)-z}dt,
$$
est une fonction Holomorphe sur l'ouvert $\mathbb C/\gamma^*$, Développable en Série Entière (DSE) sur  $\mathbb C/\gamma^*$ et $F^{(k)}(z)=k!\int_a^b \frac{f(t)}{(\gamma(t)-z)^{k+1}}dt$ sur $\mathbb C/\gamma^*$.\\
\\
En effet, puisque $\gamma^*$ est compact, pour tout $z_0\in \mathbb C/\gamma^*$, la distance de $z_0$ à $\gamma^*$ vérifie : $d(z_0,\gamma^*)=r_0>0$. Donc pour tout $r_1\in]0,r_0[$, tout $z$ dans la boule de centre $z_0$ et de rayon $r_1$ et tout $\eta\in\gamma^*$, on a
$$
\eta-z=(\eta-z_0)+(z_0-z),
$$
et donc 
$$
\eta-z=(\eta-z_0)[1-\frac{z-z_0}{\eta-z_0}],
$$
et puisque $\mid \frac{z-z_0}{\eta-z_0}\mid\leq r_1/r_0<1$, on a
$$
\frac{1}{\eta-z}=\frac{1}{\eta-z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\eta-z_0}}=\frac{1}{\eta-z_0}\sum_{n=0}^\infty (\frac{z-z_0}{\eta-z_0})^n.
$$
Par conséquent, on trouve que
$$
F(z):=\int_a^b\sum_{n=0}^\infty (z-z_0)^n \frac{f(t)}{(\gamma(t)-z_0)^{n+1}}dt,
$$
or $\sum_{n=0}^\infty \mid(z-z_0)^n \frac{f(t)}{(\gamma(t)-z_0)^{n+1}}\mid\leq \sup_{[a,b]}\mid f\mid/(r_0-r_1)$ qui est intégrable sur $[a,b]$ donc par convergence dominée :
$$
F(z):=\sum_{n=0}^\infty (z-z_0)^n \int_a^b \frac{f(t)}{(\gamma(t)-z_0)^{n+1}}dt,
$$
ce qui montre que la fonction est DSE, holomorphe et on identifie $F^{(k)}(z_0)$ dans le DSE. \\
\\
Pour l'indice, lorsque le chemin est $C^1$, on prend $f(t)=\gamma'(t)$ et
$$
\frac{1}{2i\pi} \int_a^b \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt=\frac{1}{2i\pi} \int_\gamma \frac{1}{\eta-z}d\eta,
$$
est une fonction holomorphe. Lorsque le chemin est $C^1_m$ on itère l'argument sur chacun des morceaux où le chemin est $C^1$ et on recolle les chemins.\\
\\
{\bf Etape 2-} On a $\mid Ind_\gamma(z)\mid\leq \frac{long(\gamma)}{2\pi}\frac{1}{dist(z,\gamma^*)}\to_{\mid z\mid\to\infty}0$.\\
\\
{\bf Etape 3-} Soit la fonction
$$
\phi(s)=e^{\int_a^s \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt},\quad s\in[a,b],\quad \gamma\in C^1,
$$
alors on va montrer que $\phi(b)=1$ (ce qui signifie que $\int_a^b \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt=2i\pi k$ avec $k$ entier).\\
\\
En effet, on a
$$
\phi'(s)=\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z}\phi(s),
$$
donc $(\frac{\phi(s)}{\gamma(s)-z})'=0$ et par conséquent $\frac{\phi(a)}{\gamma(a)-z}=\frac{\phi(b)}{\gamma(b)-z}$ avec $\gamma(a)=\gamma(b)$ puisque $\gamma$ est un chemin fermé. L'indice est une fonction régulière, prenant des valeurs discrètes (entières), il est donc constant sur chaque composante connexe de $\mathbb C/\gamma^*$. Sur la composante connexe non bornée : l'indice est un entier et doit tendre vers $0$ à l'infini : c'est donc la valeur $0$.\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}
Soit $\gamma$ un chemin $C^1$ de $[a,b]$ dans $\mathbb C$ tel qu'il existe $\alpha\in]a,b[$ :\\
a- $\gamma'(\alpha)\not=0$\\
b- $\gamma^{-1}(\gamma(\alpha))=\{\alpha\}$\\
alors pour $\epsilon$ assez petit 
$$
Ind_\gamma(\gamma(\alpha)+i\epsilon\gamma'(\alpha))=1+Ind_\gamma(\gamma(\alpha)-i\epsilon\gamma'(\alpha)).
$$
\end{proposition}

\begin{preuve}
Puisque $\gamma$ est localement bijective ($C^1$ difféomorphisme local) au voisinage de $\alpha$, il existe une boule centrée en $\alpha$ telle que $\gamma(t)\sim \gamma(\alpha)+t\gamma'(\alpha)$ pour $t$ dans ce voisinage de $\alpha$ (presque une droite) et $\gamma(\alpha)+i\epsilon\gamma'(\alpha)$, $\gamma(\alpha)-i\epsilon\gamma'(\alpha)$ se situe de part et d'autre de cette droite. Il suffit alors de "jouer" avec les chemins. On sait facilement calculer l'indice pour un point intérieur à un cercle (qui vaut $1$, (ou $-1$) suivant le sens de parcourt du cercle).

\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{ImageGammaLocal.jpg}


\includegraphics[width=17cm,height=20cm]{ImageRectangle5.jpg}
\end{preuve}



\includegraphics[width=17cm,height=20cm]{ImageRectangle.jpg}


\newpage
\section{Formule de Cauchy locale et applications}

\begin{proposition}\label{prop5} Soit une fonction $f$ holomorphe sur $\Omega$ ouvert de $\mathbb C$ alors pour tout triangle $T\subset \Omega$ :
$$
\int_{\partial T} f(z)dz=0.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
On pose $T_0$ le triangle $T_0=T$, en prenant les milieux des arêtes de $T_0$, on peut créer quatre triangles $T_01,T_02,T_03$ et $T_04$ (voir image ci dessous) 

\includegraphics[width=10cm,height=8cm]{Triangle3.jpg}

En supposant que $\int_{\partial T} f(z)dz=\alpha\not=0$, alors
$$
\int_{\partial T} f(z)dz=\int_{\partial T_0} f(z)dz=\sum_{i=1}^4\int_{\partial T_0i} f(z)dz,
$$
et donc il existe $i\in\{1,2,3,4\}$ tel que $\mid\int_{\partial T_0i} f(z)dz\mid\geq \alpha/4$, on pose $T_1$ le triangle $T_0i$. En itérant le processus, on peut trouver une suite $T_n$ de triangle vérifiant :
$$
long(T_n)\leq long(T_{n-1})/2,\quad diametre(T_n)\leq diametre(T_{n-1})/2,
$$
et
$$
\mid\int_{\partial T_n} f(z)dz\mid\geq \mid\int_{\partial T_{n-1}} f(z)dz\mid/4\geq \alpha/4^n.
$$

Or la suite de triangles $T_n$ est décroissante, $T_n\subset T_{n-1}...\subset T_0$, et de diamètre qui tend vers $0$ donc il existe $z_0\in T_0$ tel que $\{z_0\}=\bigcap_n T_n\subset \Omega$ et
$$
f(z)=f(z_0)+(z-z_0)f'(z_0)+(z-z_0)\epsilon(z-z_0),
$$
avec $\epsilon(\eta)\to_{\eta\to0}0$, par conséquent :
$$
\int_{\partial T_n} f(z)dz=f(z_0)\int_{\partial T_n} 1 dz+f'(z_0)\int_{\partial T_n} (z-z_0) dz+\int_{\partial T_n} (z-z_0)\epsilon(z-z_0) dz,
$$
et puisque $1$ (resp. $z-z_0$) est continue et admet une primitive holomorphe : on trouve que (voir lemme \ref{lemmaT1})
$$
\int_{\partial T_n} 1 dz=\int_{\partial T_n} (z-z_0) dz=0.
$$
Par conséquent, on a 
$$
\mid\int_{\partial T_n} f(z)dz=\int_{\partial T_n} (z-z_0)\epsilon(z-z_0) dz\mid\leq long(T_n)diam(T_n)\mid\epsilon(diam(T_n))\mid\leq Const\frac{1}{2^n}\frac{1}{2^n} o(\frac{1}{2^n}),
$$
et pour $n$ assez grand, 
$$
\mid\int_{\partial T_n} f(z)dz\mid<\frac{1}{2}(\alpha/4^n),
$$
ce qui est contradictoire avec le choix de $T_n$ ($\mid\int_{\partial T_n} f(z)dz\mid\geq \alpha/4^n$). On a montré par l'absurde que $\int_{\partial T} f(z)dz=0$.\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}\label{prop2}
Soit $p\in\Omega$ et une fonction $f$ holomorphe sur $\Omega-\{p\}$ et continue sur $\Omega$ ouvert de $\mathbb C$ alors pour tout triangle $T\subset \Omega$ :
$$
\int_{\partial T} f(z)dz=0.
$$

\end{proposition}
\begin{preuve}
Dans le premier cas, lorsque le point $p$ est à l'extérieur du triangle, tout se passe comme dans le théorème précedent

\includegraphics[width=5cm,height=5cm]{TrianglePoint1.jpg}

Lorsque $p$ est un sommet du triangle $T$, on peut choisir un triangle $T_0$ aussi petit que l'on veut dont un des sommet est $p$ et $T_1$, $T_2$ tels que $\int_{\partial T} f(z)dz=\int_{\partial T_0} f(z)dz+\int_{\partial T_1} f(z)dz+\int_{\partial T_2} f(z)dz$

\includegraphics[width=10cm,height=15cm]{TrianglePoint2a.jpg}

par le cas précédent $\int_{\partial T_1} f(z)dz=\int_{\partial T_2} f(z)dz=0$ et puisque $T_0$ peut être choisi aussi petit qu'on le souhaite et que $f$ est continue sur $\Omega$ : $\int_{\partial T_0} f(z)dz\sim f(p)long(T_0)\to_{long(T_0)\to0}0$ donc nécessairement $\int_{\partial T} f(z)dz=0$. Pour les autres cas, on découpe le triangle $T$ pour se ramener au cas où $p$ est un sommet de triangle :

\includegraphics[width=8cm,height=12cm]{TrianglePoint3a.jpg}
\includegraphics[width=8cm,height=12cm]{TrianglePoint4a.jpg}

\qed
\end{preuve}

\begin{definition}
Un ensemble $\Omega\subset \mathbb C$ est {\bf étoilé} par rapport à $z_0\in \Omega$ si et seulement si $\forall z\in \Omega$ $[z_0,z]\in \Omega$.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{prop1}
Si $\Omega$ est étoilé par rapport à $a\in\Omega$ et $f$ une fonction continue de $\Omega$ dans $\mathbb C$ alors
$$
\forall T\quad triangle\;\;de\;\;\Omega\;\;:\;\;\int_{\partial T} f(z)dz=0\Rightarrow f\;\;admet\;\;une\;\;primitive\;\;holomorphe,
$$
c'est à dire $\exists F\in \mathcal H(\Omega)$ : $F'=f$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
On pose $F(z)=\int_{[a,z]}f(u)du$ alors, pour tout $z\not=z_0$ :
$$
\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\frac{\int_{[a,z]}f(u)du-\int_{[a,z_0]}f(u)du}{z-z_0}.
$$
Or si $a,z,z_0$ forme les sommets d'un triangle $T$, on a
$$
0=\int_{\partial T} f(z)dz=\int_{[a,z]}f(u)du+\int_{[z,z_0]}f(u)du+\int_{[z_0,a]}f(u)du,
$$
donc
$$
\int_{[a,z]}f(u)du-\int_{[a,z_0]}f(u)du=\int_{[z_0,z]}f(u)du,
$$
et par continuité de $f$ : 
$$
\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\frac{\int_{[z_0,z]}f(u)du}{z-z_0}=\int_0^1 f(z_0+t(z-z_0))dt \to_{z\to z_0} f(z_0).
$$ 
Si $a,z,z_0$ sont alignés : l'égalité $\int_{[a,z]}f(u)du-\int_{[a,z_0]}f(u)du=\int_{[z_0,z]}f(u)du$ est triviale et on a encore $\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\frac{\int_{[z_0,z]}f(u)du}{z-z_0}$. La fonction $F$ est dérivable en tout point $z_0\in\Omega$, elle est donc holomorphe sur $\Omega$.\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}\label{cor1}$\;$\\
a- Soit $p\in\Omega$ étoilé par rapport à $p$, $f\in C^0(\Omega)\bigcap \mathcal H(\Omega/\{p\})$ alors pour tout chemin fermé $\gamma$ de $\Omega$ on a $\int_\gamma f(z)dz=0$.\\
\\
b- Soit $p\in\Omega$ étoilé par rapport à $p$, et $z\not \in \Omega$, alors pour tout chemin fermé $\gamma$ de $\Omega$ on a $Ind_\gamma(z)=0$.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
En utilisant la proposition \ref{prop2}, \ref{prop1} et le lemme \ref{lemmaT1}, on a directement a-. Pour b-, on note que $z$ est dans la composante connexe non bornée de $\Omega/\gamma^*$.\qed
\end{preuve}

\begin{theoreme}(Théorème de Cauchy Local)\\
Soit $\Omega$ un ouvert étoilé, $\gamma$ un chemin fermé de $\Omega$ et $f\in\mathcal H(\Omega)$ alors
\begin{equation}\label{FdeCauchy}
\forall z\not\in\gamma^*,\quad Ind_\gamma(z) f(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta,\quad(\textrm{Formule de Cauchy}).
\end{equation}
\end{theoreme}

\begin{preuve}
Soit $z\in \Omega$ fixé, alors la fonction $g(\eta):=\frac{f(\eta)-f(z)}{\eta-z}$ est continue sur $\Omega$ et holomorphe sur $\Omega/\{z\}$ avec $g(z)=f'(z)$ donc par le corollaire \ref{cor1} b-, on a $\int_\gamma \frac{f(\eta)-f(z)}{\eta-z}d\eta=0$ ce qui prouve (\ref{FdeCauchy}).\qed
\end{preuve}

\newpage
\section{Applications :}$\;$\\
\\
I) Une fonction Holomorphe est Développable en Série Entière. 
\begin{proposition}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, $C(a,R)$ un cercle de centre $a$ et de rayon $R$ inclue dans $\Omega$ et $f\in\mathcal H(\Omega)$ alors
$$
f(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_{C(a,R)} \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta=\frac{1}{2\pi}\sum_n (z-a)^n\int_0^{2\pi} \frac{f(a+Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta})^n}d\theta, \quad z\in B(a,R),
$$
avec $f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(a+Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta})^n}d\theta$. Le rayon de convergence de cette série est supérieur ou égal à $R_{max}=\max\{R\;:\;C(a,R)\subset \Omega\}$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
Il suffit d'utiliser la formule de Cauchy Locale et l'étape 1- de la démonstration du théorème \ref{ThIndice}. \qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}\label{cor3}
La dérivée d'une fonction Holomorphe est Holomorphe. 
\end{corollaire}
\begin{preuve}
Une fonction Holomorphe est DSE, donc sa dérivée est DSE et donc Holomorphe.\qed
\end{preuve}
$\;$\\
\\
II) La propriété  $\int_{\partial T} f(z)dz=0$ sur tout triangle est caractéristique de l'holomorphie.\\
\begin{theoreme}
Soit $f\in C^0(\Omega)$ alors
$$
f\in\mathcal H(\Omega) \Leftrightarrow\forall T\;\;triangle\;\;de\;\;\Omega\;\;:\;\; \int_{\partial T} f(z)dz=0.
$$
\end{theoreme}
\begin{preuve}
$\Leftarrow$ : proposition \ref{prop1} et corollaire \ref{cor3}. $\Rightarrow$ : proposition \ref{prop2}.\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire} On déduit du résultat précédent que\\
\\
1- Si $f\in C^0(\Omega)\bigcap \mathcal H(\Omega/\{p\})$ alors $f\in H(\Omega)$.\\
\\
2- Si $f\in C^0(\Omega)\bigcap \mathcal H(\Omega/\{droite\})$ alors $f\in H(\Omega)$.\\
\\
3- Si $f\in C^0(\Omega)$ alors
$$
f\textrm{ admet une primitive Holomorphe } \Leftrightarrow \forall \gamma\in C^1_m\bigcap C^0\;\;ferme\subset \Omega \;\;:\;\; \int_\gamma f(z)dz=0.
$$
\end{corollaire}
\begin{preuve}
Le point 1- est direct, le point 2- demande d'adapter la preuve de la proposition \ref{prop5}. Le point 3-$\Leftarrow$ est déjà vu (lemme \ref{lemmaT1}). Il ne reste que le point 3-$\Rightarrow$. On se place dans une composante connexe (par arc) de $\Omega$, alors pour $a,z$ dans cette composante, il existe un chemin $\gamma$ de $a$ vers $z$ à valeur dans cette composante connexe, on pose :
$$
F(z)=\int_{\gamma[a,z]} f(\eta)d\eta.
$$
On note que la définition est indépendante du chemin $\gamma$ car pour $\gamma_1$ un autre chemin dans cette composante connexe reliant $a$ à $z$
$$
\int_{\gamma[a,z]-\gamma_1[a,z]} f(\eta)d\eta=\int_{\textrm{chemin ferme de a à a}} f(\eta)d\eta=0,
$$
donc $F(z)=\int_{\gamma_1[a,z]} f(\eta)d\eta$. Pour $z_0$ proche de $z$, l'intervalle $[z_0,z]$ est dans la composante connexe et $F(z)=F(z_0)+\int_{[z_0,z]} f(\eta)d\eta$ donc $F'(z)=f(z)$.\qed
\end{preuve}

$\;$\\
\\
III) Inégalité de Cauchy
\begin{proposition}\label{prop6}Soit $\Omega$ ouvert, la boule fermé $\bar B(z_0,r)\subset \Omega$ et $f\in\mathcal H(\Omega)$ alors
$$
\mid f^{(k)}(z_0)\leq \frac{k!}{r^k}\sup_{z\in\bar B(z_0,r)}\mid f(z)\mid.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
En effet, par le théorème de Cauchy Local : $f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(a+Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta})^n}d\theta$.\qed
\end{preuve}

\begin{theoreme}(Théorème de Liouville)\label{ThLiouville}\\
Soit $f\in\mathcal H(\mathbb C)$ et borné alors $f$ est constante.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
En utilisant la proposition précédente, on a $\mid f'(z_0)\mid\leq \frac{1}{r}\sup_{z\in\bar B(z_0,r)}\mid f(z)\mid\leq C/r$ avec $C$ indépendante de $r$ (car $f$ est borné sur $\mathbb C$). Par conséquent, puisque cette relation est vraie pour tout $r$ ($f$ est holomorphe sur $\mathbb C$ tout entier), on peut faire tendre $r$ vers l'infini et $\mid f'(z_0)\leq=0$ pour tout $z_0\in \mathbb C$. Donc $f$ est constante sur $\mathbb C$.\qed
\end{preuve}

\begin{theoreme}(Théorème d'Alembert Gauss)\\
Soit $f(z)=\sum_{n=0}^N a_nz^n$ non constante alors $f$ admet (au moins) une racine dans $\mathbb C$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Puisque $a_N\not=0$, on sait que pour $R$ assez grand
$$
\mid f(z)\mid\geq \mid a_N\mid \mid z\mid^N-\sum_{n=0}^{N-1}\mid a_n\mid \mid z\mid^n\geq1,\quad \forall z\in\mathbb C/\bar B(0,R),
$$
donc
$$
\mid 1/f(z)\mid\leq 1,\quad \forall z\in\mathbb C/\bar B(0,R).
$$
En supposant que $f$ n'admette pas de racine dans $\mathbb C$, on aurait $\mid \frac{1}{f(z)}\mid$ continue sur $\mathbb C$ et donc bornée sur le compact $\bar B(0,R)$ par un réel $M>0$. Donc finalement, $1/f$ est une fonction holomorphe et borné sur $\mathbb C$ (par $\max(1,M)$) donc par le théorème de Liouville elle est constante or $f$ est non constante : l'hypothèse "$f$ n'admet pas de racine dans $\mathbb C$" est absurde.\qed 
\end{preuve}


\begin{theoreme}
Soit $f\in\mathcal H(\mathbb C)$ telle que $\mid f(z)\mid\leq C\mid z\mid^n$ ($n$ et $C$ sont fixés) alors $f$ est un polynôme de degré au plus $n$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
En utilisant la proposition \ref{prop6}, on a $\mid f^{n+1}(z_0)\mid \leq \frac{1}{r^{n+1}}\sup_{z\in\bar B(z_0,r)}\mid f(z)\mid\leq C/r$. Par conséquent, puisque cette relation est vraie pour tout $r$ ($f$ est holomorphe sur $\mathbb C$ tout entier), on peut faire tendre $r$ vers l'infini et $\mid f^{n+1}(z_0)\leq=0$ pour tout $z_0\in \mathbb C$. Donc $f$ est un polynôme de degré au plus $n$ sur $\mathbb C$.\qed
\end{preuve}

$\;$\\
\\
IV) Logarithme, 
\begin{proposition} Soit $\Omega$ ouvert étoilé, $f\in\mathcal H(\Omega)$ qui ne s'annule pas sur $\Omega$ alors il existe $g\in\mathcal H(\Omega)$ : $f=e^g$ sur $\Omega$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
On a $h=f'/f$ holomrophe sur $\Omega$ donc admet une primitive holomorphe $H$, donc
$$
(e^H/f)'=h/f-f'/f^2=0,
$$
donc $e^H=Cste\;f$ et $g=H-Log( Cste)$ vérifie $e^g=f$. On note que si $g_1$ et $g_2$ sont deux solutions de $e^g=f$ holomorphe alors $g_1=g_2+2ik\pi$.
\end{preuve}
En conséquence il est possible de définir une racine carré d'une fonction holomorphe qui ne s'annule pas sur $\Omega$, il suffit de prendre $\sqrt{f}=g/2$.


\chapter{Zéros d'une fonction Holomorphe}


\begin{theoreme}
Soit $\Omega$ un ouvert connexe et $f\in\mathcal H(\mathbb C)$ alors les propositions suivantes sont équivalentes :\\
\\
a- $f$ est nulle sur $\Omega$\\
\\
b- $\exists z_0\in\Omega$ et $r>0$ telle que $f$ est nulle sur $B(z_0,r)$\\
\\
c- $\exists z_0\in\Omega$, tel que $\forall k\in \mathbb N$ $f^{(k)}(z_0)=0$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}$\;$\\
$b\Leftarrow c$ on utilise le développement en série entière (DSE)\\
\\
$b\Leftarrow a$ Soit $N=\big\{z\in\Omega\;\;:\;\; \exists r>0\;\;t.q.\;\;B(z,r)\subset \Omega\;\;et\;\; f=0\;\;sur\;\;B(z,r)\big\}$, alors $N$ est non vide (il contient $z_0$), il est ouvert (comme union d'ouvert) et fermé car
$$
z_n\in N\quad z_n\to_{n\to\infty} z\Rightarrow f^{(k)}(z_n)=0\to_{n\to\infty} f^{(k)}(z)\Rightarrow  f^{(k)}(z)=0,
$$
par continuité de $f^{(k)}$ et par $c$ (on sait que $b\Leftarrow c$). Par conséquent, par DSE au voisinage de $z$, on a $f$ nulle au voisinage de $z$ et donc $z\in N$. Par connexité de $\Omega$, $N=\Omega$ (ouvert fermé non vide dans un ensemble connexe).\qed
\end{preuve}


\begin{corollaire}$\;$\\
1- Si $f,g\in \mathcal H(\Omega)$ avec $\Omega$ ouvert connexe, alors $f=g$ dans un voisinage de $z_0\in\Omega$ implique $f=g$ partout sur $\Omega$.\\
2- $\mathcal H(\Omega)$ est un anneau intègre. 
\end{corollaire}

\newpage 
\begin{proposition}Soit $\Omega$ un ouvert et $A\subset \Omega$ un fermé de $\Omega$ alors les propositions suivantes sont équivalentes :\\
\\
1- $A$ n'a pas de points d'accumulation\\
\\
2- tout point de $A$ est isolé\\
\\
3- pour tout compact $K$ de $\Omega$ $K\bigcap A$ est un ensemble fini 
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
On rappelle que $a$ est un point d'accumulation de $A$ si $\forall r>0$ $B(a,r)\bigcap A/\{a\}\not=\emptyset$. On rappelle que $a$ est un point isolé de $A$ si $\exists r>0$ $B(a,r)\bigcap A/\{a\}=\emptyset$. Donc $1\Leftrightarrow2$.\\
\\
$2 \Rightarrow3$. Par $2$ pour tout $a\in K\bigcap A$ il existe $r_a>0$ tel que $B(a,r_a)>\bigcap A=\{a\}$ donc
$$
K\bigcap A\subset \bigcup_{a\in K\bigcap A} B(a,r_a),
$$
or $K\bigcap A$ est un compact de $\Omega$ donc par le théorème de Borel Lebesgue on peut extraire une suite finie de boules telle que 
 $$
K\bigcap A\subset \bigcup_{finie} B(a_i,r_{a_i}),
$$
et $K\bigcap A\subset \bigcup_{finie} B(a_i,r_{a_i})\bigcap K=\bigcup_{finie} \{a_i\}$.\\
\\
$3 \Rightarrow1$. Par l'absurde, on prend $z_n$ une suite convergente telle que
$$
z_{n}\in B(a,\mid a-z_{n-1}\mid/2)/\{a\},\;\;et\;\; z_0\in B(a,r)/\{a\},\quad r>0\;\;:\;\; B(a,r)\subset\Omega,
$$
alors pour tout $i\not=j$ $z_i\not=z_j$ (par construction) et $z_n\to_{n\to\infty} a$ donc pour tout $r_a>0$ il existe $N_a>0$ tel que pour tout $n\geq N_a$ $z_n\in \bar B(a,r_a)$ et $\bar B(a,r_a)\bigcap A$ n'est pas un ensemble fini (il contient la suite $z_n$).\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}1- Si $\Omega=\mathbb C$ et $A$ un fermé formé de points isolés alors soit $A$ est fini, soit c'est une suite $\{a_n\}_n$ vérifiant $\mid a_n\mid\to_{n\to\infty}\infty$.\\
\\
2- Si $\Omega=B(0,1)$ et $A$ un fermé formé de points isolés alors soit $A$ est fini, soit c'est une suite $\{a_n\}_n$ vérifiant $\mid a_n\mid\to_{n\to\infty}1$.
\end{corollaire}


\begin{theoreme}
Soit $\Omega$ un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb C$ non identiquement nulle ALORS $A=f^{-1}(\{0\})$ est un fermé de $\Omega$ formé de points isolés.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Soit $z_0\in A=f^{-1}(\{0\})$ alors par DSE
$$
f(z)=\sum_k f^{(k)}(z_0) (z-z_0)^k/k!\quad z\in \bar B(z_0,r),
$$
or $f$ est non nulle donc il existe $k_0=\min\{k\;\;:\;\;f^{(k)}(z_0)\not=0\}<\infty$ et $f(z)=f^{(k)}(z_0) (z-z_0)^k g(z)$ avec $g\in \mathcal H( B(z_0,r))$ et $g(z_0)=1$. Donc par continuité de $g$ : $g$ est non nulle dans un voisinage de $z_0$ : $B(z_0,r_0)$ $r_0>0$ et $f$ est non nulle dans $B(z_0,r_0)/\{z_0\}$. Par conséquent $z_0$ est un point isolé.\qed
\end{preuve}


\begin{theoreme}(principe de symétrie de Schwarz) Soit $\Omega$ un ouvert connexe et symétrique par rapport à l'axe des réels, $\Omega^+=\{z\in\Omega\;:\;Im(z)>0\}$ et $f\in \mathcal H(\Omega^+)\bigcap C^0(\bar \Omega^+)$ avec $f(\mathbb R)\subset \mathbb R$ alors il existe un unique prolongement $\tilde f$ holomorphe de $f$ sur $\Omega$ :
$$
\tilde f(z)=f(z)\quad Im(z)\geq0\;\;z\in \Omega,\quad \tilde f(z)=\overline{f(\bar{z})}\quad Im(z)<0\;\;z\in \Omega.
$$
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Il suffit de prouver l'unicité, si $f_1$ et $f_2$ sont deux solutions alors $f_1-f_2$ est holomorphe sur $\Omega$ et nulle sur $\Omega^+$ donc elle est nulle sur tout $\Omega$.\qed
\end{preuve}

\chapter{Principe du maximum}

\begin{definition}
On dit que $f$ a "la propriété de la moyenne" si pour toute $\bar B(a,r_0)\subset \Omega$ on a
\begin{equation}\label{propmoyenne}
\forall r\in]0,r_0[,\quad f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(a+re^{it})dt.
\end{equation}
\end{definition}

\begin{remarque}
Si $f\in\mathcal H(\Omega)$ alors par le théorème de Cauchy local $f$ vérifie (\ref{propmoyenne}) et $Re(f)$ aussi.
\end{remarque}

\begin{proposition}(Principe du maximum local) Soit $f\in C^0(\Omega)$ telle que :\\
a- $f$ vérifie (\ref{propmoyenne})\\
b- $\mid f\mid$ admet un maximum local en $z_0\in\Omega$\\
ALORS $f$ est localement constante en $z_0$.
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
Par $b-$ pour $r_1>0$ assez petit $\mid f(z)\mid\leq \mid f(z_0)\mid$ pour tout $z\in B(z_0,r_1)$.\\
Par $a-$ pour $r_2>0$ assez petit $ f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(z_0+r_2e^{it})dt$ donc pour tout $0<r<\min(r_1,r_2)$ on a les deux propriétés et
$$
\mid f(z_0)\mid\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \mid f(z_0+re^{it})\mid dt\leq \mid f(z_0)\mid,
$$ 
donc
$$
0= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \big[\mid f(z_0)\mid-\mid f(z_0+re^{it})\mid\big] dt, \quad \mid f(z_0)\mid-\mid f(z_0+r_2e^{it})\mid\geq 0.
$$
Si $ f(z_0)=0$, on a directement que $f(z_0+re^{it})=0$ pour tout $t,r\geq0$. Pour conclure lorsque $ f(z_0)\not=0$, on pose $g(z)=f(z)e^{-i\theta}$ avec $\theta$ tel que $ f(z_0)=e^{i\theta}\mid f(z_0)\mid$, alors $g$ vérifie $a-$ et $b-$ de la proposition et 
$$ 
g(z_0)=Re(g(z_0))=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} Re( g(z_0+r_2e^{it}))dt\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \mid g(z_0+r_2e^{it})\mid dt\leq g(z_0),
$$
donc
$$
\int_{-\pi}^{\pi} \big[Re( g(z_0+r_2e^{it}))-\mid g(z_0+r_2e^{it})\mid\big] dt=0.
$$
Or $Re( g(z_0+r_2e^{it}))-\mid g(z_0+r_2e^{it})\mid\leq0$ et continue en $t$ donc $Re( g(z_0+r_2e^{it}))=\mid g(z_0+r_2e^{it})\mid,$
et par conséquent : $Im(g(z_0+r_2e^{it}))=0$ pour tout $t,r\geq0$, $Re( g(z_0+r_2e^{it}))\geq0$ et donc
$$
\int_{-\pi}^{\pi} [g(z_0)-g(z_0+r_2e^{it})]dt\geq0,\quad g(z_0)\geq g(z_0+r_2e^{it}).
$$
Finalement on a $g(z_0)=g(z_0+r_2e^{it})$ pour tout $r,t$ positifs donc $f$ est localement constante.\qed
\end{preuve}


\begin{theoreme}(Principe du maximum) Soit $\Omega$ ouvert borné et $f$ une fonction continue sur $\bar\Omega$ compact et vérifiant (\ref{propmoyenne}) ALORS \\
1- $\forall z\in \Omega$ $\mid f(z)\mid\leq \sup_{u\in\bar\Omega/\Omega=\partial \Omega}\mid f(u)\mid$\\
2- si $\Omega$ est connexe et $f$ non constante alors celle inégalité est stricte.
\end{theoreme}

\begin{preuve}$\;$\\
{\bf  1.} Puisque $\mid f\mid$ est continue sur $\bar\Omega$ compact il existe $z_0\in\bar\Omega$  tel que 
$$
\mid f(z)\mid\leq \mid f(z_0)\mid,
$$
si $z_0\in\partial \Omega$ c'est terminé, sinon $z_0\in\Omega$ et l'on note $\Omega_0$ la composante connexe de $\Omega$ contenant $z_0$.\\
Soit $A=\{z\in\Omega_0\;\;:\;\;f(z)=f(z_0)\}$, on a directement que $A$ est non vide ($z_0\in A$), fermé (image réciproque d'un fermé par une application continue) et ouvert par le principe du maximum local donc $A=\Omega_0$ et par continuité de $f$ on a $A=\bar\Omega_0$. On veut montrer que $\bar\Omega_0\bigcap \partial \Omega$ est non vide, pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose que $\bar\Omega_0\bigcap \partial \Omega=\emptyset$ alors puisque $\bar\Omega_0\subset \bar\Omega$, on a $\bar\Omega_0\subset\Omega$ or  $\bar\Omega_0$ est connexe et contient une composante connexe donc c'est une composante connexe et $\bar\Omega_0=\Omega_0$. Ainsi, $\Omega_0$ est un ouvert fermé non vide de $\mathbb C$ (qui est connexe) donc $\Omega_0=\mathbb C$ ce qui est impossible car $\bar\Omega$ est borné (car compact). \\
\\
{\bf 2.} En supposant l'inégalité non-stricte, il existe $z_0\in\Omega$ tel que $\mid f(z_0)\mid=\max_{\bar \Omega} \mid f(z)\mid$, par le raisonnement précédent $\Omega_0=\Omega$ et $f$ est constante sur $\Omega$ ($f(z)=f(z_0)$ pour tout $z\in\Omega$).\qed
\end{preuve}

\begin{remarque}Soit $\Omega$ un ouvert, connexe et borné alors toute fonction $f$ continue sur $\bar\Omega$ et holomorphe sur $\Omega$ telle que $\mid f\mid$, sur $\bar\Omega$, atteint son maximum en un point de $\Omega$ alors $f$ est nécessairement constante.
\end{remarque}

\begin{remarque}Soit $f$ continue sur $\bar B(0,R)$ et holomorphe sur $B(0,R)$ alors
$$
M(r)=\max_{\bar B(0,R)}\mid f\mid=\max_{\mid z\mid=R}\mid f(z)\mid,
$$
est croissante en $r$ et strictement croissante lorsque $f$ n'est pas constante.
\end{remarque}

\begin{proposition}\label{lemmedeSch}(Lemme de Schwarz) Soit $f:D\to D$ holomorphe sur $D=B(0,1)$ telle que $f(0)=0$ alors\\
1- soit on a $\mid f(z)\mid< \mid z \mid$ pour tout $z\in D/\{0\}$ et $\mid f'(0)\mid<1$\\
2- ou bien il existe $\theta\in\mathbb R$ tel que $f(z)=ze^{i\theta}$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
 La fonction $g(z)=f(z)/z$ est holomorphe sur $D$ et $g(0)=f'(0)$ donc pour tout $r\in]0,1[$, $g$ est continue sur $\bar B(0,r)$ et holomorphe sur $B(0,r)$ donc par le principe du maximum
$$
\mid g(z)\mid\leq \max_{\mid u\mid=r}\mid g(u)\mid=\max_{\mid u\mid=r}\mid f(u)\mid/r\leq1/r,\quad car\;\;f(D)\subset D,
$$
et en faisant tendre $r$ vers 1 on trouve que $\mid g(z)\mid\leq1$. \\
\\
Si il existe $z_1\in D$ tel que $\mid g(z_1)\mid=1$ alors $g$ est constante (de la forme $e^{i\theta}$) sur tout disque de centre $0$ et de rayon $r\in]\mid z_1\mid,1[$ et par connexité sur $D$ tout entier (donc $f(z)=ze^{i\theta}$).\\
\\
Si $\mid f'(0)\mid =1$ alors $\mid g(0)\mid=1$ et l'argument précédent marche.\qed
\end{preuve}
$\;$\\
\\
Par conséquent, dans $D=B(0,1)$, l'ensemble
$$
\Gamma(D)=\big\{f\textrm{ bijective et biholomorphe sur } D\big\},
$$ 
est un groupe.\\
\\
- Le sous groupe des fonctions de $\Gamma(D)$ telle que $f(0)=0$ est constitué des rotation (i.e. $f(z)=ze^{i\theta}$). En effet, puisque $f:D\to D$ holomorphe et $f(0)=0$, on a $\mid f(z) \mid\leq \mid z \mid $ et de même pour $f^{-1}$ donc $\mid f(z) \mid = \mid z \mid $.\\
\\
- Soit $\alpha\in D$, alors $\phi_\alpha:z\to \frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}$ est une bijection de $D$ sur $D$ (qui envoie $\partial D$ dans $\partial D$) et d'inverse $\phi_\alpha^{-1}=\phi_{-\alpha}$. De plus on a $\phi_\alpha(\alpha)=0$, $\phi'_\alpha(0)=1-\mid \alpha\mid^2$ et $\phi'_\alpha(\alpha)=1/(1-\mid\alpha\mid^2)$. On a directement que $\phi_\alpha\in\mathcal H(D)\bigcap C^0(\bar D)$.\\
\\
- Soit $f\in\Gamma(D)$ telle que $f(0)=\alpha$ alors on peut montrer qu'il existe $\theta$ tel que $f(z)=\phi_{-\alpha}(e^{i\theta})$ (il suffit de remarquer que $g=\phi_\alpha of\in \Gamma(D)$ et $g(0)=0$).


\chapter{Intégrales dépendant d'un paramètre holomorphe}

\begin{theoreme}\label{ThIntDepParamHolo}
Soit $(X,T,\mu)$ un espace mesuré, $\Omega\subset C$ et $f:X\times \Omega\to \mathbb C$ une fonction vérifiant les hypothèses :\\
1- $\forall z\in \Omega$ $x\to f(x,z)$ mesurable\\
2- $\forall x\in X$ $z\to f(x,z)\in \mathcal H(\Omega)$\\
3- $\forall K\subset \Omega$ compact, $\forall (x,z)\in X\times K$ $\mid f(x,z)\mid\leq G_K(x)$ intégrable (domination)\\
ALORS\\
a- $F:z\to\int_X f(x,z)d\mu(x)$ est holomorphe sur $\Omega$\\
b- $\forall z_0\in\Omega$ $\forall n\in\mathbb N$ $F^{(n)}(z_0)=\int_X \frac{\partial^n}{\partial z^n} f(x,z_0)d\mu(x)$\\
c- soit $K$ un compact de $\Omega$ et $K_r=\{ z\in\Omega \;:\; d(K,z)\leq r\}$ alors \\$\forall z\in K$ $\mid F^{(n)}(z)\mid \leq n!r^{-n}\int_X G_{K_r}(x)d\mu(x)$

\end{theoreme}
\begin{preuve}$\;$\\
{\bf Etape 1 -} L'inégalité de Cauchy nous dit que si $B(z_0,r)\subset \Omega$ alors $\mid f^{n}(x,z)\mid\leq n! r^{-n} \sup_{\mid z-z_0\mid=r} \mid  f(x,z_0)\mid$. Puisque $K$ est compact, on peut la recouvrir par un nombre fini de boule de rayon $r$ qui sont inclues dans $\Omega$ pour $r$ assez petit ($r<dist(K,\mathbb C/\Omega)$). Finalement, on a
$$
\forall x\in X\;\;\forall z\in K\quad \mid f^{n}(x,z)\mid\leq n! r^{-n} \sup_{z_0\in K_r} \mid  f(x,z_0)\mid\leq n! r^{-n} G_{K_r}(x),
$$
et $x\to f^{(n)}(x,z)$ est mesurable comme limite de fonctions mesurable.\\
\\
{\bf Etape 2 -} Puisque $f$ est holomorphe en $z$ elle est DSE au voisinage de tout $z_0\in K$ donc pour tout $z\in B(z_0,r/2)$ ($r$ choisi à l'étape 1-) $f(x,z)=\sum_{n\in\mathbb N} f^{(n)}(x,z_0)(z-z_0)^n/n!$ or
$$
 \mid f^{(n)}(x,z_0)(z-z_0)^n/n!\mid \leq  r^{-n} G_{K_r}(x)\mid\frac{r}{2}\mid^n \leq G_{K_r}(x)\frac{1}{2^n},
$$
donc la série converge normalement sur $B(z_0,r/2)$ et on peut intervertir $\int\sum=\sum\int$.\\
\\
{\bf Etape 3 -} On trouve que
$$
\int_X f(x,f)d\mu(x)=\sum_n \frac{(z-z_0)^n}{n!} \int_X f^{(n)}(x,z_0)d\mu(x).
$$
On a donc un DSE dans $B(z_0,r/2)$ de $\int_X f(x,z)d\mu(x)$ qui est donc holomorphe. Il suffit d'identifier dans la série $F^{(n)}(z_0)$ pour avoir le point b- et prendre le $\sup_{z_0}$ pour avoir le point c- (pour tout $z\in K$, on peut trouver $z_0\in K_r$ tel que $\mid z_0-z\mid\leq r$ et utiliser l'étape 1-).\qed

\end{preuve}

\begin{theoreme}(Equivalent pour les séries) Soit $f_n$ une suite de fonctions\\
1- $(f_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$\\
2- $\forall K\subset\Omega$ compact $\sum_n\sup_{z\in K}\mid f_n(z)\mid<\infty$\\
ALORS\\
a- $F(z)=\sum_n f_n(z)$ est holomorphe sur $\Omega$\\
b- $F^{(k)}(z)=\sum_n f^{(k)}_n(z)$.
\end{theoreme}


\chapter{Théorème de Cauchy global}

\begin{definition}
Soit $(\gamma_i)_{i=1..m}$ une suite de chemins fermés $C^1_m\bigcap C_0$ et une suite d'entier $(n_i)_{i=1..m}\subset \mathbb Z$, on note 
$$
\Gamma=\sum_{i=1}^m n_i \gamma_i,
$$  
le {\bf cycle} de support $\Gamma^*=\bigcup_i \gamma_i^*$ et de longueur $long(\Gamma)=\sum_{i=1}^m \mid n_i\mid long(\gamma_i)$ tel que pour toute fonction $f\in C^0$, on définit
\begin{equation}
\int_\Gamma f(z)dz:=\sum_{i=1}^m n_i\int_{\gamma_i} f(z)dz.
\end{equation}
\end{definition}

Intuitivement, on parcourt le chemin $\gamma_i$ $\mid n_i$ fois dans le sens positif si $n_i$ est positif et négatif sinon et $\Gamma$ est la concaténation de ces cycles.

On a directement que
\begin{equation}
\mid\int_\Gamma f(z)dz\mid\leq \sup_{\gamma^*} \mid f\mid long(\Gamma),
\end{equation}
et
\begin{equation}
\forall a\not\in\Gamma^*,\quad Ind_{\Gamma}(a)=\sum_{i=1}^m n_i Ind_{\gamma_i}(a).
\end{equation}

\begin{theoreme} En supposant \\
1- $\Gamma$ un cycle dans $\Omega$\\
2- $\forall a\in\mathbb C/\Omega$ $Ind_{\Gamma}(a)=0$\\
3- $f\in \mathcal H(\Omega)$\\
ALORS
\begin{equation}\label{ResTHcauchy1}
\int_\Gamma f(z)dz=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{ResTHcauchy2}
\forall z\in\Omega/\Gamma^*\quad Ind_{\Gamma}(z)f(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}dz.
\end{equation}
\end{theoreme}

\begin{preuve}$\;$\\
{\bf Etape 1-} On a $1\Leftrightarrow 2$. En effet, si $f\in \mathcal H(\Omega)$ et $z\in \Omega/\Gamma^*$ la fonction
$$
g:\eta\to\left\{\begin{array}{l}\frac{f(z)-f(\eta)}{z-\eta},\quad \eta\not=z,\\ f'(z),\quad \eta=z\end{array}\right.
$$
est holomorphe sur $\Omega$ (continu + holomorphe sur $\Omega/{z}$). Donc en supposant (\ref{ResTHcauchy1}) on a $\int_\Gamma g(z)dz=0$ et donc (\ref{ResTHcauchy2}) est vérifié pour $f$.\\
\\
Si maintenant $f\in \mathcal H(\Omega)$, la fonction $g(\eta)=(z-\eta)f(\eta)$ est holomorphe, donc en supposant (\ref{ResTHcauchy2}) on a $g(z)=0$ et donc $0=\int_\gamma g(\eta)/(z-\eta)d\eta=\int_\Gamma f(\eta)d\eta$.\\
\\
{\bf Etape 2-} On pose
$$
g:(z,\eta)\to\left\{\begin{array}{l}\frac{f(z)-f(\eta)}{z-\eta},\quad \eta\not=z,\\ f'(z),\quad \eta=z\end{array}\right.
$$
qui est une fonction holomorphe par rapport à chacune de ses variables sur $\Omega\times\Omega$ donc
$$
h:z\to\int_\Gamma g(z,\eta)d\eta,
$$
est une somme intégrales dépendant d'un paramètre holomorphe 
$$
h(z)=\sum_i n_i\int_{\gamma_i} g(z,\eta)d\eta=\sum_i\int_{0}^1 g(z,\gamma_i(t))\gamma_i'(t)dt.
$$
Il suffit de vérifier les hypothèses du théorème \ref{ThIntDepParamHolo} pour avoir $h$ holomorphe, 1- et 2- sont directs, on montre uniquement l'hypothèse 3-. \\
Soit $K$ un compact de $\Omega$ et $r>0$ tel que $K_r=\{z\in \Omega\;:\: d(K,z)\leq r\}\subset \Omega$ alors\\
\\
i) Si $\mid z-\eta\mid\geq r/2$ alors on a 
$$
\mid g(z,\eta)\mid=\mid \frac{f(z)-f(\eta)}{z-\eta}\mid\leq 2\sup_{K_r} \mid f\mid \frac{2}{r}
$$
$\;$\\
ii) Si $\mid z-\eta\mid\leq r/2$ alors le cercle de rayon $r$ et de centre $\eta$ (parcouru dans le sens direct) : $C(\eta,r)\subset K_r$ et par le théorème de Cauchy local
$$
g(z,\eta)=\frac{1}{2i\pi}\int_{C(\eta,r)} \frac{g(\omega,\eta)}{\omega-z}d\omega=\frac{1}{2i\pi}\int_{C(\eta,r)} \frac{f(\omega)-f(\eta)}{(\omega-z)(\omega-\eta)}d\omega,
$$
donc
$$
\mid g(z,\eta)\mid\leq \frac{2\pi r}{2\pi} 2\frac{\sup_{K_r} \mid f\mid}{r^2/2}=\frac{4}{r}\sup_{K_r} \mid f\mid.
$$
Par conséquent pour tout compact $K'$ de $\Omega$, on a
$$
\mid g(z,\gamma_i(t))\mid\leq\frac{4}{r}\sup_{(K'\bigcup \gamma_i^*)_r} \mid f\mid,
$$ 
avec $(K'\bigcup \gamma_i^*)_r=\{z\in \Omega\;:\: d(K'\bigcup \gamma_i^*,z)\leq r\}\subset \Omega$ et l'hypothèse 3- du théorème \ref{ThIntDepParamHolo} est vérifié sur chacun des chemins $\gamma_i$ et donc $h$ est une somme (finie) de fonctions holomorphes : c'est une fonction holomorphe.\\
\\
{\bf Etape 3-} Soit
$$
\Omega_1=\big\{z\in\mathbb C/\Gamma^*\;\;:\;\; Ind_{\Gamma}(z)=0\big\},
$$
par l'hypothèse 2-, on a que l'ensemble $\Omega_1$ est ouvert, car $Ind_{\gamma_i}$ est constante des composante connexe ouverte et donc $\Omega_1$ est une union d'intersections finis d'ouvert, et contient la composante connexe non borné de $\mathbb C/\Gamma^*$. On pose
$$
k(z)\left\{\begin{array}{l}\int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta,\quad z\in\Omega_1,\\ h(z),\quad z\in \Omega\end{array}\right.
$$
On note que $k$ est bien définie car sur $\Omega_1\bigcap\Omega$, on a 
$$
\int_\Gamma \frac{f(z)-f(\eta)}{z-\eta}d\eta=\int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta+f(z) \underbrace{Ind_{\Gamma}(z)}_{=0}
$$
et comme intégrale à paramètre holomorphe $\int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta$ est bien définie et holomorphe. De plus, on a $\Omega\bigcup\Omega_1=\mathbb C$ car $\mathbb C=\bigcup$ composantes connexes de $\mathbb C/\gamma^*$ $\bigcup \Gamma^*$ or toutes ces composantes connexes (sauf celle non bornée) sont inclues dans $\Omega$. Par conséquent, on a $k$ qui est une fonction holomorphe de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$.
\\
\\
{\bf Conclusion} On a $k$ borné sur $\mathbb C$. En effet, pour $n$ entier assez grand l'ensemble
$$
K_n=\big\{z\;\;:\;\; dist(z,\mathbb C/\omega)\geq 1/(n+1) \big\}\bigcap \bar B(0,n),
$$
est compact et vérifie $\Gamma\subset \mathring{K}_n$ (voir annexe - topologie) : donc
$$
\sup_{K_n} \mid h\mid<\infty,
$$
et
$$
\mid \int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta\mid \leq \sup_{\Gamma^*}\mid f\mid/d(\Gamma^*,\mathbb C/\mathring{K}_n)<\infty,\quad z\in \mathbb C/\mathring{K}_n,
$$
donc $k$ est borné et de plus
$$
\forall z\in\Omega_1\quad \mid \int_\Gamma \frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta\mid\leq long(\Gamma)\sup_{\Gamma^*}\mid f\mid d(z,\Gamma^*)\to_{z\to\infty}0.
$$
En utilisant le théorème de Liouville \ref{ThLiouville}, on a $k$ qui doit être constant sur $\mathbb C$ et en utilisant la limite précédente, cette constante doit être nulle. Ainsi, $k=0$ et 
$$
\int_\Gamma g(z,\eta)d\eta,
$$ 
et (\ref{ResTHcauchy2}) est satisfaite.\qed
\end{preuve}


\begin{definition}
On dit que $\Omega$ est simplement connexe si $\Omega$ est connexe et son complémentaire ne contient pas de composante connexe borné.
\end{definition}

\begin{proposition}
Si $\Omega$ est un ouvert simplement connexe et $\Gamma$ est un cycle de $\Omega$ alors pour tout $a\in\mathbb C/\Omega$ on a$Ind_\Gamma(a)=0$.
\end{proposition}

\begin{corollaire}
Lorsque $\Omega$ est un ouvert simplement connexe, le théorème de Cauchy est vérifié dès que $f$ est holomorphe sur $\Omega$ et $\Gamma$ est un cycle dans $\Omega$.
\end{corollaire}

\begin{corollaire}
Lorsque $\Omega$ est un ouvert simplement connexe et $f$ est holomorphe sur $\Omega$ alors $f$ admet une primitive.\end{corollaire}

\begin{corollaire}\label{Refcory1}
Lorsque $\Omega$ est un ouvert simplement connexe et $f$ est holomorphe ne s'annulant pas sur $\Omega$ alors il existe $g$ holomorphe sur $\Omega$ telle que $f=e^g$.
\end{corollaire}

\chapter{Développement en série de Laurent}

On note $C(a,R_1,R_2)$ la couronne ouverte $0\leq R_1<R_2\leq\infty$ : $\{z\;\;:\;\; R_1<\mid z-a\mid<R_2\}$, alors pour tout $r_1,r_2$ tels que $R_1<r_1<r_2<R_2$ on a
$$
\Gamma=C(a,r_2)-C(a,r_1),
$$
cycle où l'on parcourt le cercle $C(a,R_2)$ dans le sens positif et $C(a,R_1)$ dans le sens négatif. Alors, on a
$$
Ind_\Gamma(a)=1-1=0,\quad si\;\;a\in B(0,R_1)\quad Ind_\Gamma(a)=0-0=0,\quad si\;\;a\in \mathbb C/B(0,R_2),
$$
et donc pour tout $a\in\mathbb C/C(a,R_1,R_2)$ on a $Ind_\Gamma(a)=0$. Maintenant, soit $f\in\mathcal H(C(a,R_1,R_2))$ alors par le théorème de Cauchy, on a
\begin{equation}
f(z)=\frac{1}{2i\pi}\big[\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta-\int_{C(a,r_1)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta\big].
\end{equation}

\paragraph{DSE de $\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta$}
En posant $\eta-z=(\eta-a)-(z-\eta)$ et en faisant un DSE de $1/(1-u)$ (voir etape 1- de la démonstration du théorème \ref{ThIndice}), on a
$$
\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}d\eta,
$$
on note
$$
a_n(r_2)=\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}d\eta.
$$


\paragraph{DSE de $\int_{C(a,r_1)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta$}
En posant $\eta-z=(\eta-a)-(z-\eta)$ et en faisant un DSE de $1/(1-u)$ (voir etape 1- de la démonstration du théorème \ref{ThIndice}), on a
$$
\int_{C(a,r_1)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta=-\sum_{n=0}^\infty (z-a)^{-n-1}\int_{C(a,r_1)}f(\eta)(\eta-a)^{n}d\eta,
$$
on note
$$
b_n(r_1)=\int_{C(a,r_1)}f(\eta)(\eta-a)^{n}d\eta.
$$
Les coefficients $a_n(r_2)$ et $b_n(r_1)$ ne dépendent pas de $r_1$ et $r_2$, on peut le voir en notant que dans le domaine simplement connexe suivant l'intégrale de la fonction holomorphe $\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}$ est nulle et donc $\int_{C(a,r_2)}\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}d\eta=\int_{C(a,r'_2)}\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}d\eta$.

\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{Imager1r1p.jpg}

Par conséquent, on a

$$
\boxed{f(z)=\sum_{n\in \mathbb Z} (z-a)^n \frac{1}{2i\pi}\int_{C(a,r)}\frac{f(\eta)}{(\eta-a)^{n+1}}d\eta.}
$$

\begin{proposition}
Soit $f\in \mathcal H(C(a,R_1,R_2))$, $h_1\in\mathcal H(B(a,R_2))$ et $h_2\in \mathcal H(C(a,R_1,\infty))$ avec $h_2(z)\to_{z\to\infty}0$ alors
$$
f=h_1+h_2\Rightarrow\;\; h_1=\sum_{n\in\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n,\quad h_2=\sum_{n\in\mathbb Z/\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n,
$$
avec $a_n(f)=\frac{1}{2i\pi}\int_{C(a,r)}f(\eta)(\eta-a)^{-(n+1)}d\eta$ avec $r$ quelconque dans $]R_1,R_2[$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
On pose
$$
k(z)=\left\{\begin{array}{l} h_1-\sum_{n\in\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n,\quad B(a,R_2),\\ h_2-\sum_{n\in\mathbb Z/\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n,\quad C(a,R_1,\infty)\end{array}\right.
$$
c'est une fonction bien définie sur $\mathbb C$ (car $f=h_1+h_2=\sum_{n\in\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n+\sum_{n\in\mathbb Z/\mathbb N} a_n(f) (z-a)^n$ sur $C(a,R_1,R_2)$), holomorphe sur $\mathbb C$ et qui tend vers $0$ à l'infini (donc borné sur $\mathbb C$) et par le théorème de Liouville on a $k=0$ sur $\mathbb C$.\qed
\end{preuve}


\section{Fonctions holomorphes dans un "disque pointé" : singularité}

Soit $D'(a,r)=D'(a,r)/\{a\}=C(a,0,r)$ et $f\in \mathcal H(\Omega/\{a\})$ avec $a\in\Omega$ alors
\begin{definition}
On dit que $a$ est une {\bf singularité isolé} de $f$ si $f$ admet un Développement en Série de Laurent dans un disque pointé $D'(a,r)\subset \Omega$ :
$$
f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z} a_n(f)(z-a)^n.
$$
\end{definition}

Trois cas sont alors possibles :\\
\\
a- pour tout $n<0$ : $a_n(f)=0$ $\mapsto$ on dit que $\{a\}$ est une {\bf pseudo singularité} et $f$ se prolonge en une fonction holomorphe dans le disque de centre $a$ et de rayon $r$ $D(a,r)$.\\
\\
b- il existe un nombre fini de $n<0$ tels que $a_n(f)\not=0$ $\mapsto$ on dit que $\{a\}$ est un {\bf pôle} de multiplicité $n_0$ (plus petit $n$ : $a_n(f)\not=0$.\\
\\
c- il existe un nombre infini de $n<0$ tels que $a_n(f)\not=0$ $\mapsto$ on dit que $\{a\}$ est une {\bf singularité essentielle} de $f$. (par exemple $f(z)=e^{1/z}$)\\

\begin{proposition}$\;$\\
1- ($f\in \mathcal H(D'(a,r))$ a une pseudo singularité (singularité effaçable))$\Leftrightarrow$($f$ est borné au voisinage de $\{a\}$)\\
\\
2-($f\in \mathcal H(D'(a,r))$ a une pôle d'ordre au plus $n_0$)$\Leftrightarrow$($(z-a)^{-n_0}f(z)$ est borné au voisinage de $\{a\}$)
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
a- on montre $\Leftarrow$ de 2-, on pose $g(z)=(z-a)^{-n_0+1}f(z)$ et $g(a)=0$, c'est une fonction holomorphe sur $D(a,r)/\{a\}$ et continue sur $D(a,r)$ donc $g$ est holomorphe sur $D(a,r)$ et DSE, donc
$$
g(z)=\sum_{n=0}^\infty b_k(z-a)^k,
$$
et donc $f(z)=\sum_{n=n_0-1}^\infty b_{k+1-n_0}(z-a)^k$ est DS Laurent.
\\
\\
b- $\Rightarrow$ de 2- est direct car $f(z)(z-a)^{-n_0}$ est DSE.\\
\\
c- $\Leftarrow$ de 1-, $g(z)=f(z)(z-a)$ et $g(a)=0$, c'est une fonction holomorphe sur $D(a,r)/\{a\}$ et continue sur $D(a,r)$ et donc holomorphe et DSE donc 
$$
f(z)=\sum_{n=-1}^\infty b_{k+1}(z-a)^k,
$$
mais $b_0=0$ car $g(a)=0$ donc en fait $f(z)=\sum_{n=0}^\infty b_{k+1}(z-a)^k$ et $f$ DSE donc holomorphe.\\
\\
d- $\Rightarrow$ de 1- est direct car $f(z)$ est DSE.\qed
\end{preuve}


\begin{theoreme}(Théorème de Weirstrass)\\
\\
 ($f\in \mathcal H(D'(a,r))$ a une singularité essentielle en $a$)$\Rightarrow$($\forall \rho\in]0,r[$ $f(D'(a,\rho))$ est dense dans $\mathbb C$)
\end{theoreme}
\begin{preuve}
$\;$\\
On montre par contraposé que $a$ singularité essentielle implique $f(D'(a,\rho))$ dense.\\
\\
Supposons $\exists \rho\in]0,r[$ telle que $f(D'(a,\rho))$ ne soit pas dense dans $\mathbb C$ alors il existe $b\in \mathbb C$ et $R>0$ tels que $\overline{f(D'(a,\rho))}\bigcap \overline{D(b,R)}=\emptyset$. La fonction $g(z)=\frac{1}{f(z)-b}$ est bornée sur $D'(a,\rho)$ : $\mid g(z)\mid\leq 1/R$ donc par la propriété précédente, $g$ a une singularité effaçable en $a$ et $g$ est en fait une fonction holomorphe sur $D(a,\rho)$ et DSE. \\
On peut en factorisant le DSE de $g$ écrire $g(z)=(z-a)^{n_0}h(z)$ avec $h(a)\not=0$ et $h$ holomorphe donc
$$
f(z)(z-a)^{n_0}=\frac{1}{h(z)}+b(z-a)^{n_0},
$$
avec $h$ non nul dans un voisinage de $a$ donc pour $\rho$ assez petit, on a $f(z)(z-a)^{n_0}$ borné dans un voisinage ($D(a,\rho)$) de $a$ donc $f$ est une singularité effaçable ($n_0=0$) ou un pôle ($n_0>0$), i.e., $a$ n'est pas une singularité essentielle.\qed
\end{preuve}

\section{Caractérisation des différentes singularités}
Soit $f\in \mathcal H(D'(a,r))$, alors\\
\\
1- $a$ sing. effaçable $\Leftrightarrow$ $f$ est borné au voisinage de $\{a\}$.\\
\\
2- $a$ pôle  $\Leftrightarrow$ $\mid f\mid\to_{z\to a}\infty$ \\
\\
3- $a$  singularité essentielle $\Leftrightarrow$ $\forall \rho\in]0,r[$ $f(D'(a,\rho))$ est dense dans $\mathbb C$\\
\begin{preuve}$\;$\\
2- $\Leftarrow$ : si $a$ n'est pas un pôle alors, soit c'est une singularité effaçable et donc $\mid f\mid\not\to_{z\to a}\infty$ car $f$ est bornée, soit $a$ est essentielle et puisque $f(D'(a,\rho))$ est dense dans $\mathbb C$ on peut trouver une suite $z_n$ qui tend vers $a$ telle que $f(z_n)$ tende vers $0$ (par exemple) et donc  $\mid f\mid\not\to_{z\to a}\infty$.\\
\\
3- $\Leftarrow$ : \\
- si $a$ est une sing. effaçable alors il existe $C>0$ tel que pour $\rho$ assez petit
$$
\mid f(z)\mid\leq C,\quad \forall z\in D(a,\rho),
$$
et donc $^cD(a,C)\bigcap \overline{f(D(a,\rho/2)}=\emptyset.$\\
- si $a$ est un pôle alors il existe $C>0$ tel que pour $\rho$ assez petit
$$
\mid f(z)\mid\geq C,\quad \forall z\in D(a,\rho),
$$
et donc $D(a,C)\bigcap \overline{f(D(a,\rho/2)}=\emptyset.$\\
Par conséquent on a nécessairement $a$  singularité essentielle.\\
\\
Les autres points sont évidents.\qed
\end{preuve}



\section{Formule des résidus}

\begin{definition}
Soit $f\in \mathcal H(D'(a,r))$ et $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z} a_n(f)(z-a)^n$, on note
$$
Res(f,a)=a_{-1}(f)=\frac{1}{2i\pi}\int_{C(a,\rho\in]0,r[} \frac{f(\eta)}{\eta-a}d\eta,
$$
le {\bf résidu} de $f$ en $a$.
\end{definition}

\begin{theoreme}$\;$Soient \\
1- $\Omega$ un ouvert\\
2- $A\subset \Omega$ fermé dans $\Omega$ et formé de point(s) isolé(s)\\
3- $\Gamma$ un cycle : $\Gamma^*\subset \Omega/A$ d'indice nul en tout points de $\mathbb C/\Omega$ (hyp. du th. de Cauchy)\\
4- $f\in\mathcal H(\Omega/A)$\\
ALORS
$$
\int_\Gamma f(z)dz=2i\pi\sum_{a\in A} Ind_{\Gamma}(a)Res(f,a).
$$
\end{theoreme}
\begin{remarque}
L'ensemble $\big\{a\in A\;:\;Ind_\gamma(a)\not=0\big\}$ est un ensemble fini car inclue dans un compact de $\Omega$ + théorème de Borel Lebesgue et hyp. 2-.
\end{remarque}
\begin{preuve}
On a
$$\big\{a\in A\;:\;Ind_\Gamma(a)\not=0\big\}=\{a_1,..a_k\}$$
Il existe une suite de réel strictement positifs $r_j>0$, tels que $\bar D(a_j,r_j)\bigcap A=\{a_j\}$ et $\bar D(a_j,r_j)\subset \Omega/\Gamma^*$.
On pose 
$$
\Gamma'=\Gamma-\sum_i Ind_\Gamma(a_i)C(a_i,r_i),\quad \Omega'=\Omega/A
$$
alors
$$
\int_{\Gamma'} f(\eta)d\eta=\int_\Gamma f(\eta)d\eta-\sum_i Ind_\Gamma(a_i)2i\pi Res(f,a_i),
$$
donc si les hypothèses du théorème de Cauchy sont vérifiées sur $\Gamma'$ alors $\int_{\Gamma'} f(\eta)d\eta=0$ et c'est fini.\\
\\
Il suffit donc de montrer que 
$$
\forall z\in\mathbb C/\Omega',\quad Ind_{\Gamma'}(z)=0
$$
$\;$\\
- Si $z\in\Omega/A$ on a $Ind_\Gamma(z)=0$ et pour $r_i$ assez petit $z$ est à l'extérieur des $C(a_i,r_i)$ et par conséquent $Ind_{C(a_i,r_i)}(z)=0$ et $ Ind_{\Gamma'}(z)=0$.\\
\\
- Si $z\in A$ alors \\
i) $z\in\{a_1,..a_k\}$, par exemple $z=a_1$ donc $Ind_{C(a_i,r_i)}(a_1)=0$ si $i\not=1$ et $1$ sinon : ce qui implique que $Ind_{\Gamma'}(a_1)=Ind_\Gamma(a_1)-1.Ind_\Gamma(a_1)=0$.\\
ii) $z\in A/\{a_1,..a_k\}$ et $Ind_\Gamma(a)=0$ et extérieur à tous les disques $C(a_i,r_i)$ donc $Ind_{\Gamma'}(z)=0$.\qed
\end{preuve}


\section{Fonctions méromorphes}



\begin{definition}Soit $\Omega$ un ouvert connexe, $f$ est une fonction {\bf méromorphe} sur $\Omega$ si il existe $P(f)\subset \Omega$ fermé formé de points isolés tel que
$$
f\in\mathcal H(\Omega/P(f)),
$$
et tout points de $P(f)$ est pôle de $f$.
\end{definition}

\begin{remarque}
Soit $\Omega$ connexe et $f\in \mathcal H(\Omega)$ non nulle alors $1/f$ est une fonction méromorphe dans $\Omega$ et $P(f)=$Zéros de $f$.
\end{remarque}

\begin{proposition}
L'ensemble des fonctions méromorphes sur un ouvert connexe est un espace vectoriel, un corps, et stable par dérivation. 

\end{proposition}

\begin{remarque}
Soit $\Omega$ connexe et $f$ est une fonction méromorphe dans $\Omega$ non nulle alors $1/f$ est une fonction méromorphe dans $\Omega$ et $P(1/f)=$Zéros de $f$. En effet, les zéros de $f$ étant formé de points isolés sur $\Omega/\bigcup_{a\in P(f)} B(a,r_a)$ avec $\mid f(z)\mid\geq 1$ sur $\bigcup_{a\in P(f)} B(a,r_a)$, les zéros deviennent des pôles pour $1/f$ et les pôles de $f$ des zéros de $1/f$.
\end{remarque}

\section{Pratique du calcul des résidus}

Soit $f\in \mathcal H(D'(a,r))$ on a $Res(f,a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma(a,\rho)} f(\eta)d\eta$ $\rho\in]0,r[$. Lorsque $f$ a un pôle d'ordre $m$ en $a$ ($m<0$) alors $g(z)=(z-a)^{-m}f(z)$ se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de $a$ et par DSE $g(z)=\sum_{\mathbb N} c_n(g)(z-a)^n$ donc $f(z)=\sum_{n=m}^\infty c_{n-m}(g)(z-a)^n$ et donc
$$
c_{-1}(f)=c_{-m-1}(g).
$$
Dans la pratique, on calcule un Développement Limité (DL) de $g$ en $a$ à l'ordre $-m-1$, il est aussi plus pratique de se ramener en $0$ par un changement de variable :$z=a+u$.

\begin{exemple}
Soit $f=k/h$, $k$ ne s'annule pas et $h$ a un zéro simple en $a$ alors
$$
h(z)=(z-a)h_1(z)=h(a)+(z-a)h'(a)+...
$$
$$
f(z)=\frac{k(a)+(z-a)k'(a)+...}{(z-a)h'(a)+...}=\frac{1}{z-a}\frac{k(a)}{h'(a)}+holomorphe
$$
et donc $Res(f,a)=\frac{k(a)}{h'(a)}$.
\end{exemple} 

\begin{exemple}\label{exemple5}
Soit $f=h'/h$, $h$ ayant un pôle d'ordre $m$ ($m<0$) en $a$ alors
$$
g(z)=f(z)(z-a)^{-m}\in\mathcal H(voisinage(a)),\quad g(a)\not=0,
$$

$$
f'(z)=g'(z)(z-a)^{m}+mg(z)(z-a)^{m-1},
$$
$$
f'/f=g'/g+m(z-a)^{-1},
$$
avec $g'/g$ holomorphe au voisinage de $a$ donc $Res(f,a)=m$. On peut faire de même pour $h$ ayant un zéros d'ordre $m$.
\end{exemple} 	


\begin{corollaire}
Soit $f$ méromorphe de $\Omega$ ouvert connexe dans $\mathbb C$, $\Gamma$ un cycle évitant tout les zéros et pôles et $f$ tel que\\
1- $Ind_\Gamma(z)=0,\;\;z\in\mathbb C/\Omega,$\\
2- $Ind_\Gamma(z)\in\{0,1\},\quad z\not\in \Gamma^*$,\\
ALORS\\
$$
\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{f'(\eta)}{f(\eta)}d\eta=N-P,
$$
avec $N$ (resp. $P$) qui est le nombre de zéros (resp. pôles) avec multiplicité de $f$ dans l'ensemble $\Omega_1=\{z\;\;:\;\;Ind_\Gamma(z)=1\}$.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
Il suffit d'utiliser le calcul de l'exemple \ref{exemple5} et le théorème de Cauchy.\qed
\end{preuve}


\begin{proposition}
Soit $\Omega_1=\{z\in\Omega \;\;:\;\;Ind_\Gamma(z)=1\}$ et $f\mathcal H(\Omega)$ ne s'annulant pas sur $\Gamma^*$ alors le nombre de zéros de $f$ dans $\Omega_1$ est égal à $\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{f'(\eta)}{f(\eta)}d\eta$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
Soit $f\in\mathcal H(\Omega)$ et $\Gamma=\sum_i n_i\gamma_i$, $\gamma_i$ étant un chemin fermé $C^1_m\bigcap C^0$ alors $fo\Gamma=\sum_i n_ifo\gamma_i$ et par définition de l'intégrale sur un chemin, on a 
$$
\frac{1}{2i\pi}\int_{fo\Gamma} \frac{1}{\eta}d\eta=\frac{1}{2i\pi}\int_{0}^1 \frac{1}{fo\Gamma(t)}f'o\Gamma(t) \Gamma'(t)dt=\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{f'(\eta)}{f(\eta)}d\eta=Ind_{fo\Gamma}(0).
$$
\qed
\end{preuve}


\begin{theoreme}(Théorème de Rouché):\\
Soit $\Omega$ un ouvert, $\Gamma$ un cycle tel que \\
1- $\Gamma^*\subset \Omega$\\
2- $Ind_\Gamma(z)=0,\;\;z\in\mathbb C/\Omega,$\\
3- $Ind_\Gamma(z)\in\{0,1\},\quad z\not\in \Gamma^*$,\\
$f,g$ deux fonctions holomorphes sur $\Omega$ tels que  
$$
\forall z \in \Gamma^*,\quad \mid f(z)\mid>\mid g(z)\mid,
$$
ALORS\\
le nombre de zéros de $f$ sur $\Omega_1=\{z\;\;:\;\;Ind_\Gamma(z)=1\}$ est égal au nombre de zéros de $f+g$ sur $\Omega_1$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Puisque l'inégalité $\mid f(z)\mid>\mid g(z)\mid$ est stricte, ni $f$ ni $f+g$ ne s'annulent sur $\Gamma^*$ et on trouve que
$$
\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{f'(\eta)}{f(\eta)}d\eta=\textrm{ nombre de zéros de }f\textrm{ dans }\Omega_1,
$$
$$
\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{(f+g)'(\eta)}{(f+g)(\eta)}d\eta=\textrm{ nombre de zéros de }f+g\textrm{ dans }\Omega_1,
$$
$$
\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{(f+g)'(\eta)}{(f+g)(\eta)}d\eta=\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{f'(\eta)}{f(\eta)}d\eta+\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{(1+g/f)'(\eta)}{(1+g/f)(\eta)}d\eta,
$$
or $\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma} \frac{(1+g/f)'(\eta)}{(1+g/f)(\eta)}d\eta=Ind_{(1+g/f)o\Gamma}(0)$ avec 
$$
(1+g/f)o\Gamma\subset B(1,1),
$$
car $\mid(1+g/f)-1\mid<1$ sur $\Gamma^*$ ($\mid f(z)\mid>\mid g(z)\mid$ sur $\Gamma^*$) donc $0$ est dans la composante connexe non borné de $(1+g/f)o\Gamma$ et $Ind_{(1+g/f)o\Gamma}(0)=0$. \qed
\end{preuve}

\begin{remarque}
On peut "affaiblir" les hypothèses et prendre $\mid f(z)\mid\geq\mid g(z)\mid$ mais en supposant que ni $f$ ni $f+g$ ne s'annulent sur $\Gamma^*$ et dans ce cas la conclusion est encore valable. Il suffit pour montrer cela de prendre $f_a=af$ ($a\in ]1,\infty[$ et $g$ qui vérifient alors les hypothèses du théorème de Rouché et de passer à la limite lorsque $a$ tend vers $1$ en utilisant la continuité des intégrales par rapport au paramètre $a$ et du fait qu'elles ne prennent que des valeurs entières. 
\end{remarque}



\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction holomorphe non constante sur $\Omega$ ouvert connexe et $f$ ouverte (c'est à dire $f(ouvert)$ est une ouvert) alors
$$
f\textrm{ injective }\Rightarrow f' \textrm{ ne s'annule pas}.
$$

\end{theoreme}
\begin{preuve}$\;$\\
{\bf Etape 1-} Soit $z_0$ et $w_0$ tel que $f(z_0)=w_0$, on va étudier les solutions de $f(z)=w$ lorsque $w$ est proche de $w_0$. Puisque $z_0$ est une racine de $f(z)-w_0$, on a par DSE
$$
f(z)-w_0=\sum_1^\infty a_n(z-z_0)^n,
$$ 
la somme commence à $n=1$ car $a_0=0$ car $f(z_0)-w_0=0$, et peut s'écrire
$$
f(z)-w_0=(z-z_0)^{n_0}g(z),
$$
avec $g$ ne s'annulant pas dans un voisinage (assez petit) de $z_0$ car les zéros de $f(z)-w_0$ sont isolés et donc
$$
f'(z)=(z-z_0)^{n_0-1}[n_0g(z)+(z-z_0)g'(z)]=(z-z_0)^{n_0-1}h(z),
$$
avec $h$ qui ne s'annule pas en $z_0$  et donc quitte à se placer dans un plus petit voisinage de $z_0$, on a
$$
\mid f(z)-w_0\mid\geq \mid z-z_0 \mid^{n_0} \mid g(z_0) \mid/2,\quad(a)
$$
$$
\mid f'(z)\mid\geq \mid z-z_0 \mid^{n_0-1} \mid h(z_0) \mid/2,\quad(b)
$$
On pose $F(z)=f(z)-w_0$ et $G(z)=Constante=w-w_0$ alors
$$
f(z)-w=F-G,
$$
avec $n_0$ le nombre de zéros (avec multiplicité) de $F$ dans le disque $D(z_0,r_0)$ ($r_0>0$ assez petit). On pose $\Gamma=$ Cercle de centre $z_0$ et de rayon $r_0$, dans ce cas $\Omega_1=D(z_0,r_0)$. On peut appliquer le théorème de Rouché à $F$ et $G$, en effet quitte à prendre $w$ très proche de $w_0$,
$$
\mid w-w_0\mid<r_0^{n_0}\mid g(z_0)\mid/2,
$$
alors par (b), on a
$$
\mid w-w_0\mid<\mid f(z)-w_0\mid,
$$
et on trouve que $\mid G\mid<\mid F\mid$ sur $\Gamma^*$ : par conséquent, le nombre de zéros de $f(z)-w_0$ dans le disque $D(z_0,r_0)$ est égal au nombre de zéros de $f(z)-w_0$ dans le disque $D(z_0,r_0)$ c'est à dire $n_0$.\\
\\
{\bf Etape 2-} On suppose que $f$ est injective et $f'$ s'annule, on va montrer que cela est absurde. Puisque $f'$ s'annule en $z_0$, en prenant $w$ assez proche de $f(z_0)$, on a vu à l'étape 1- qu'il y avait au moins deux zéros de $f(z)-w$ (avec multiplicité) au voisinage de $w_0$, ce qui veut dire que :\\
- soit $z_1$ est racine au moins double de $f(z)-w$,\\
- soit il existe $z_1\not=z_2$ racines de $f(z)-w$.\\
Le premier cas est impossible puisque $f'$ est holomorphe donc ses zéros sont isolés et dan un voisinage proche de $z_0$, il ne peut y avoir d'autre zéros de $f'$ que $z_0$. Le second cas est aussi impossible car $f$ est injective. Par conséquent on abouti à une absurdité et $f$ est injective implique $f'$ ne s'annule pas.\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}\label{corou1}
Une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega$, $f$ injective et $f'$ ne s'annulant pas alors $f$ est localement bijective.
\end{corollaire}


\section{Résidus : exemples}

\paragraph{- Calcul de $\int_0^{2\pi} R(\sin(\theta),\cos(\theta)d \theta $.} Par exemple, on veut calculer, pour $a\in\mathbb C/[-1,1]$, l'intégrale
$$
I_a=\int_0^{2\pi} \frac{dt}{a+\sin(t)}=\frac{1}{i}\int_{C(0,1)}\frac{dz}{a+(z-\bar z)/{2i}},
$$
on note que sur le cercle de rayon $1$ et de centre $0$, $\bar z=1/z$, donc
$$
I_a=\int_0^{2\pi} \frac{dt}{a+\sin(t)}=\frac{1}{i}\int_{C(0,1)}\frac{1}{z}\frac{dz}{a+(z-1/z)/{2i}}=2\int_{C(0,1)}\frac{ dz}{2iaz+z^2-1},
$$
or $2iaz+z^2-1=(z-z_+)(z-z_-)$ avec $z\pm=i(-a\pm \sqrt{a^2-1})$. On note que $\mid z_+z_-\mid=1$ et $(a\pm \sqrt{a^2-1})=e^{i\theta}$ impliquerait $a=-cos(\theta)$ (impossible) donc il existe $\epsilon\in\{+1,-1\}$ tel que $z_\epsilon\in D(0,1)$ et 
$$
I_a=2\int_{C(0,1)}\frac{ dz}{2iaz+z^2-1}=4i\pi[Res(f,z_\epsilon)]=2\pi/\sqrt{a^2-1}.
$$


\paragraph{- Calcul de $I=\int_{\mathbb R}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ (fraction rationnelle)}$\;$\\

On suppose que $Q$ ne s'annule pas sur $\mathbb R$ et le degré de $P$ $\leq$ degré de $Q$ $-2$. Par le théorème des résidus on a (voir schéma : demi cercle et racines de $Q$ de partie imaginaire $>0$), pour $r$ assez grand
$$
\int_{demi\;\;cercle(0,r)} \frac{P(\eta)}{Q(\eta)}d\eta=2i\pi\sum_{z\;\;:Q(z)=0\;\;et\;\;Im(z)>0} Res(\frac{P}{Q},z),
$$

\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{ImageRacineFR.jpg}

d'autre part
$$
\int_{demi\;\;cercle(0,r)} \frac{P(\eta)}{Q(\eta)}d\eta=\int_{-r}^r\frac{P(x)}{Q(x)}dx+i\int_0^{\pi} [P(re^{it})/Q(re^{it})]re^{it}dt
$$

Par passage à la limite, on trouve que
$$
\lim_{r\to\infty}\int_{-r}^r\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int_{\mathbb R}\frac{P(x)}{Q(x)}dx,
$$
et comme le degré de $P$ $\leq$ degré de $Q$ $-2$ : $[P(re^{it})/Q(re^{it})]r\to_{r\to\infty}0$, on a
$$
\lim_{r\to\infty}i\int_0^{\pi} [P(re^{it})/Q(re^{it})]re^{it}dt=0,
$$
et finalement
$$
\int_{\mathbb R}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=-2i\pi\sum_{z\;\;:Q(z)=0\;\;et\;\;Im(z)>0} Res(\frac{P}{Q},z).
$$


\paragraph{- Calcul de $I=\int_{\mathbb R}e^{itx}R(x)dx$ ($R$ fraction rationnelle) $t\in\mathbb R$}

Même méthode, en notant que si $t>0$
$$
\lim_{r\to\infty}i\int_0^{\pi} [P(re^{iu})/Q(re^{iu})]re^{iu}e^{itre^{iu}}du=0,
$$
car $\mid e^{itre^{iu}}\mid=e^{-tr\sin(u)}\leq1$ pour $u\in[0,\pi]$ et si $t<0$, on prend le demi-cercle inférieur.

\paragraph{- Calcul de $I=\int_{\mathbb R}e^{itx}R(x)dx$ ($R$ fraction rationnelle) $t\in\mathbb R$}
Cette fois ci $Q$ peut s'annuler en $0$ : $0$ doit être un zéro simple et nulle part ailleurs sur la droite réelle

\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{ImageRacineFR.jpg}

on exclu $0$ avec un demi cercle de centre $0$ et de rayon $\epsilon$ (qui a vocation à tendre vers $0$... c'est la fatalité de $\epsilon$).

On note que pour le petit cercle, on a
$$
\lim_{\epsilon\to0}i\int_0^{\pi} [P(\epsilon e^{iu})/Q(\epsilon e^{iu})] \epsilon e^{iu}e^{it \epsilon e^{iu}}du=P(0)/Q'(0).
$$





\chapter{Suites et séries de fonctions holomorphes}



\begin{theoreme}Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, et $(f_n)_n\subset \mathcal H(\mathbb C)$ qui converge uniformément sur tout compact (i.e., pour tout compact $K$, $\sup_K\mid f_n-f\mid\to_{n\to\infty}0$) ALORS la limite $f$ est holomorphe sur $\Omega$ et pour tout $k$ $f_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout compact vers $f^{(k)}$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
Soit $z\in\Omega$ et $D(z,r)\subset\Omega$, alors
$$
f_n(z)=\int_{C(z,r)}\frac{f_n(\eta)}{\eta-z}d\eta,
$$
puisqu'il y a convergence uniforme sur tout compact, on peut intervertir limite et intégrale et 
$$
\int_{C(z,r)}\frac{f_n(\eta)}{\eta-z}d\eta\to_{n\to\infty} \int_{C(z,r)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta,
$$
avec $z\to \int_{C(z,r)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta $ qui est une intégrale à paramètre holomorphe (donc holomorphe) d'autre part, il y a convergence simple et 
$$
f_n(z)\to_{n\to\infty} f(z),
$$
donc
$$
f(z)= \int_{C(z,r)}\frac{f(\eta)}{\eta-z}d\eta\in\mathcal H(\Omega).
$$
Pour les dérivée successive, on note que
$$
f^{(k)}_n(z)=\frac{k!}{2i\pi}\int_{C(z,r)}\frac{f_n(\eta)}{(\eta-z)^{k+1}}d\eta,
$$
et
$$
\sup_{D(z,r_0/2)}\mid f^{(k)}_n-f^{(k)}\mid\leq \frac{k!}{r_0^k} \sup_{\bar D(z,r_0)}\mid f_n-f\mid
$$
donc il y a convergence uniforme sur les disques fermé, donc par le théorème de Borel Lebesgue sur tout compact.\qed
\end{preuve}

\begin{theoreme}(Théorème d'Hurwitz) $\;$\\
1- Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$,\\
2- $(f_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$ convergeant uniformément sur tout compact vers $f$\\
3- $\bar D(z_0,r)\subset \Omega$ tel que $f$ ne s'annule pas sur $C(z_0,r)$\\
ALORS\\
Pour $n$ assez grand, le nombre de zéros de $f_n$ (avec multiplicité) dans $ D(z_0,r)$ est égal au nombre de zéros de $f$ (avec multiplicité). 
 \end{theoreme}
\begin{preuve}
Soit $c=\inf_{C(z_0,r)}\mid f\mid>0$ (fonction continue sur un compact et ne s'annulant pas), alors pour $n$ assez grand, on a $\sup_{C(z_0,r)}\mid f_n-f\mid<c/2$ donc $\inf_{C(z_0,r)}\mid f_n\mid>c/2>0$. On peut donc décomposer 
$$
f_n=(f_n-f)+f,
$$
et utiliser le théorème de Rouché.\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}
Soit $\Omega$ un ouvert connexe, $(f_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$ convergeant uniformément sur tout compact vers $f$ et $f_n^{-1}(0)=\emptyset$ ALORS soit $f$ est la fonction nulle, soit $f^{-1}(0)=\emptyset$.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
On raisonne par l'absurde, si $f$ est non nulle et s'annule, alors les zéros de $f$ sont isolés et autour d'un zéro on peut trouver un cercle centré en ce zéro tel que $f$ ne s'y annule pas et par le théorème précédent, pour $n$ assez grand, $f_n$ devrait s'annuler : c'est absurde.\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}\label{corolt2}
Soit $\Omega$ un ouvert connexe, $(f_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$ convergeant uniformément sur tout compact vers $f$ et $f_n$ injective ALORS soit $f$ est constante, soit $f$ est injective.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
On raisonne par l'absurde, si $f$ est non constante et non injective, alors il existe $z_1,z_2$ telle que $f(z_1)=f(z_2)$ et $f(z)-f(z_1)$ admet deux racines, donc pour $n$ assez grand $f_n-f(z_1)$ admet aussi au moins deux racines : $f_n$ est non injective : absurde.\qed
\end{preuve}


\begin{corollaire}
Soit $\Omega$ un ouvert connexe, $(f_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$ convergeant uniformément sur tout compact vers $f$ et $f_n(\Omega)\subset A\subset \mathbb C$ ALORS soit $f$ est constante, soit $f(\Omega)\subset A$.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
On raisonne par l'absurde, si $f$ est non constante et il existe $z_0$ tel que $f(z_0)\not\in A$, alors $f(z)-f(z_0)$ admet une racine, donc pour $n$ assez grand $f_n-f(z_0)$ admet aussi au moins une racine : $f_n(\Omega)\not\subset A$  : absurde.\qed
\end{preuve}



\begin{theoreme}Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, et $(f_n)_n\subset \mathcal H(\mathbb C)$ dont la série converge uniformément sur tout compact et converge normalement ALORS $\sum_nf_n$ est holomorphe sur $\Omega$ et pour tout $k$ $\sum_nf_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout compact vers $(\sum_nf_n)^{(k)}$.
\end{theoreme}



\begin{definition}Soit $\Omega$ un ouvert, et $(u_n)_n$ une suite de fonctions méromorphes sur $\Omega$ alors on dit que\\
\\
la série de terme général $(u_n)_n$ converge uniformément (resp. normalement) sur les compact de $\Omega$ si et seulement si :\\
1- $\forall K$ compact $\subset\Omega$, il existe $N(K)\in\mathbb N$ tel que $\forall n\geq N(K)$ $u_n$ n'a pas de pôle dans $K$\\
2- $\sum_{n>N(K)} u_n$ converge uniformément (resp. normalement) sur $K$.
\end{definition}

\begin{theoreme}\label{ThCvSerieMero}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, et $(f_n)_n$ une suite de fonctions méromorphes sur $\Omega$ dont la série converge uniformément sur tout compact (resp. converge normalement) ALORS $\sum_nf_n$ est méromorphe sur $\Omega$ et pour tout $k$ $\sum_nf_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout compact vers $(\sum_nf_n)^{(k)}$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Soit $P_n=\{$ pôle de $u_n\}$, et  $P=\{$ pôle de $\sum_nu_n\}$, alors 
$$
P\subset \bigcup_n P_n,\textrm{ formé de points isolés},
$$
donc pour tout compact $K$, l'intersection $\bigcup_n P_n\bigcap K$ est finie. Soit $U$ un ouvert de $\Omega$ tel que $\bar U$ soit compact alors
$$
\sum_nu_n=\sum_{n\leq N(K)}u_n+H
$$
avec $H$ holomorphe sur $U$. Comme la somme finie de fonctions méromorphes est méromorphe, on a le résultat souhaité. Pour conclure, on se reporte à Annexe-topologie pour montrer que pour tout $K$ compact il existe $U$ ouvert, tel que $\bar U$ compact et $U$ contient $K$ (suite exhaustive de compact).\qed
\end{preuve}

\paragraph{Exemple amusant et non trivial}

\begin{proposition}
On a
$$
\sum_{-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}=(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
{\bf Etape 1.} On montre que la série $\sum_{-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}$ converge au sens du théorème \ref{ThCvSerieMero}. La suite $u_n(z)=1/(z-n)^2$ à un pôle sur $\mathbb C$ en $z=n$. Pour tout compact $K$, il existe $n_0$ tel que $K\subset B(0,n_0)$ et donc pour tout $n\geq n_0+1$, $u_n$ n'a pas de pôle dans $K$, et
$$
\mid1/(z-n)^2\mid\leq 1/(n_0-n)^2
$$
donc la série $\sum_{n\geq n_0+1} u_n$ converge normalement sur tout compact et la limite $S$ est méromorphe.\\
\\
{\bf Etape 2.} $S(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n\not=0}1/(z-n)^2$ avec $\sum_{n\not=0}1/(z-n)^2$ qui est holomorphe au voisinage de $0$ (série de fonctions holomorphes dans $B(0,1/2)$ par exemple et convergeant normalement). De plus la limite $S$ est $1-$périodique donc les pôles de $S$ contiennent $\mathbb Z$ or les pôles de $S$ sont inclues dans $\bigcup_n $ pôles de $u_n$ $=$ $\mathbb Z$ donc les pôles de $S$ se répartissent exactement sur $\mathbb Z$.\\
\\
{\bf Etape 3.} 
$$
\sup_{x\in[-1/2,1/2]}\mid S(x+iy)\mid \leq \frac{1}{y^2}+\sum_{\mathbb Z^*} \frac{1}{y^2+\mid n-1/2\mid^2},
$$
donc par $1-$périodicité on a
$$
\sup_{x\in\mathbb R}\mid S(x+iy)\mid \leq \frac{1}{y^2}+\sum_{\mathbb Z^*} \frac{1}{y^2+\mid n-1/2\mid^2},
$$
et par convergence normale,
$$
\lim_{y\to\infty}\sup_{x\in\mathbb R}\mid S(x+iy)\mid =0.
$$
et
$$
\sup_{x\in\mathbb R,\mid y\mid\geq1}\mid S(x+iy)\mid \leq 3.
$$
{\bf Etape 4.} En utilisant le DSE de $\sin(\pi z)$ on a $(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2=(\frac{1}{z})^2+H(z)$ avec $H$ holomorphe au voisinage de $0$. On a également $(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2$ $1-$périodique car $\sin(z)$ est $1-$périodique ($=(e^{iz}-e^{-iz})/(2i)$).
$$
\sup_{x\in[-1/2,1/2]}\mid (\frac{\pi}{\sin(\pi (x+iy))})^2\mid \leq \pi^2/(4(e^{\mid\pi y\mid}-1/e)^2),
$$
$$
\lim_{y\to\infty}\sup_{x\in\mathbb R}\mid (\frac{\pi}{\sin(\pi (x+iy))})^2\mid=0.
$$
et
$$
\sup_{x\in\mathbb R,\mid y\mid\geq1}\mid (\frac{\pi}{\sin(\pi (x+iy))})^2\mid \leq 3.
$$
{\bf Etape 5.} $S(z)-(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2$ est une fonction holomorphe au voisinage de $0$, $1-$périodique et en fait c'est une fonction holomorphe sur $\mathbb C$ (par périodicité tout les pôles sont éliminés), cette fonction est bornée et tend vers $0$ lorsque $Im(z)\to\infty$ donc par Liouville cette fonction est nulle et on a 
$$
\sum_{-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}=(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2.
$$
\qed
\end{preuve}


\begin{exemple}
On peut montrer de même que
$$
\frac{\pi}{\tan(\pi z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2}=\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{z+n}.
$$
En effet, on a
$$
(\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{z+n})'=-\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{(z+n)^2},
$$
$$
(\frac{\pi}{\tan(\pi z)})'=-(\frac{\pi}{\sin(\pi z)})^2
$$
donc 
$$
W(z)=(\frac{\pi}{\tan(\pi z)}-\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{z+n})
$$
est holomorphe sur $\mathbb C-\mathbb Z$ (qui est un ouvert connexe), de dérivée nulle : c'est donc une constante. En l'infini $x+iy$ avec $y\to\infty$ on note que $W$ tend vers $0$ cette constante est donc nulle et $W=0$.
\end{exemple}


\begin{theoreme}
Soit $(z_j)_{j\in\mathbb N}\subset \mathbb C$ telle que $\mid z_j\mid\to_{j\to\infty}0$ et
$$
\forall j\;\;Q_j(z)=\sum_{l=0}^{n_j} a_{lj}/(z-z_j)^l,
$$
ALORS il existe une fonction méromorphe dans $\mathbb C$ : $ f\in \mathcal H(\mathbb C/\bigcup_j\{z_j\})$ et 
$$
\forall j\;\;\exists B(z_j,r_j)\;\;: \;\; f(z)=Q_j(z)+f_j(z),\quad f_j\in\mathcal H(B(z_j,r_j).
$$
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Si la série des des $Q_j$ est normalement convergente (au sens des séries de fonctions méromorphes) alors $f=\sum_{j}Q_j$ est solution.\\
\\
Si $z_j=0$, on pose $P_j=0$\\
Si $z_j\not=0$ alors $Q_j\in\mathcal H(B(0,\mid z_j\mid))$, $Q_j(z)=\sum_0^\infty a_{n,j}z^n$ et sur $\bar D=\bar B(0,\mid z_j\mid/2)$ on a
$$
\exists n_j\in\mathbb N\;:\;\forall z\in\bar D\;\mid Q_j(z)-\sum_0^{n_j} a_{n,j}z^n\mid\leq 2^{-j},
$$
on pose
$$
P_j(z)=\sum_0^{n_j} a_{n,j}z^n,
$$
et pour tout $R>0$, il existe $j_0$ tel que pour tout $j\geq j_0$ $\mid z_j\mid>2R$ rt donc $Q_j$ n'a pas de pôle dans $\bar B(0,R)$ et
$$
\sum_{j\geq j_0} \sup_{z\in \bar B(0,R)}\mid Q_j(z)-P_j(z)\mid\leq1/2^{j_0}<\infty,
$$
la série converge normalement sur tout compact (au sens méromorphe). Alors 
$$
f(z)=\sum_j [Q_j(z)-P_j(z)],
$$
est solution.\qed
\end{preuve}


\chapter{Produit infini}


\begin{definition}
On dit que $\prod_{i=0}^\infty u_i$, $u_i\in\mathbb C$ converge si et seulement si la suite $(\prod_{i=0}^n u_i)_n$ converge dans $\mathbb C^*$ et $\prod_{i=0}^\infty u_i=\lim_{n\to\infty}\prod_{i=0}^n u_i$.

\end{definition}

\begin{proposition}
Si $\prod_{i=0}^\infty u_i$, $u_i\in\mathbb C$ converge alors $u_i\not=0$ pour tout $i$, $u_i\to_{i\to\infty} 1$ et 
$$
\prod_{i=0}^\infty u_i=\prod_{i=0}^p u_i\prod_{i=p+1}^\infty u_i.
$$
\end{proposition}


\begin{proposition}
$\prod_{i=0}^\infty u_i$, $u_i\in\mathbb C$ converge si et seulement si \\
1- $u_i\not=0$ pour tout $i$,\\
2- $\exists i_0$ $\forall i\geq i_0$ $Re(u_i)>0$ et $\sum_{i_0}^\infty \log(u_i)$ converge\\
et on a
$$
\prod_{i=0}^\infty u_i=\prod_{i=0}^{i_0-1} u_i e^{\sum_{i_0}^\infty \log(u_i)}.
$$

\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
$\Leftarrow$ Lorsque $Re(z)>0$, on a$e^{log(z)}=z$ et $e^{\sum}=\prod exp$ avec $z\to e^z$ continue (pour le passage à la limite).\\
\\
$\Rightarrow$ Lorsque $u_i\to 1$, $\exists i_0$ $\forall i\geq i_0$ $Re(u_i)>0$ et $u_i\not=0$ donc $\log(u_i)$ a un sens (à partir de $i_0$). Puisque le produit $\prod_{i_0}^\infty u_i$ converge dans $\mathbb C^*$ vers une limite $l$, il existe $p_0$ tel que pour tout $p\geq p_0$ $\mid \prod_{i_0}^{p} u_i -l\mid<\mid l\mid/2$. Puisque $l\not=0$, il existe un relèvement du logarithme dans $0\not\in B(l,\mid l\mid/2)$ : c'est à dire il existe $\Phi\in\mathcal H(B(l,\mid l\mid/2))$ tel que $e^{\Psi(z)}=z$ dans $B(l,\mid l\mid/2)$. Donc :
$$
e^{\Psi(\prod_{i_0}^pu_i)}=\prod_{i_0}^pu_i,
$$
$$
\Psi(\prod_{i_0}^pu_i)=\sum_{i_0}^p \log(u_i)+2i\pi k_p
$$
et $\Psi(\prod_{i_0}^pu_i)\to\Psi(l)$, $\Psi(\prod_{i_0}^{p+1}u_i)\to\Psi(l)$ et $ \log(u_{p+1})\to0$ donc $ k_p-k_{p+1}$ est une suite stationnaire égale à $0$ (i.e. $k_p$ est constante) à partir d'un certain rang : ce qui prouve le résultat.\qed
\end{preuve}

En posant $u_i=1+v_i$, on remarque que $u_i\to1$ revient à dire que $v_i\to0$.
\begin{proposition}\label{prodtosum}(avec les $v_i$) En supposant $Re(v_i)>0$ pour tout $i$, on a \\
$\sum_{i_0}^\infty \mid v_i\mid$ converge $\Leftrightarrow$ $\sum_{i_0}^\infty \mid \log(u_i)\mid $ converge.

\end{proposition}
\begin{preuve}Soit $\mid z\mid\leq1/2$ alors  $\mid z\mid/2\leq\mid \log(1+z)\mid\leq 3\mid z\mid/2$ car
$$
\mid 1-\log(1+z)/z\mid=\mid\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} z^{n-1}/n\leq 1/2\quad pour\;\;\mid z\mid<1/2.
$$
Le résultat en découle.\qed
\end{preuve}


\chapter{Produit infini de fonctions holomorphes}

\begin{definition}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)_n$ une suite de fonctions holomorphes sur $\Omega$, on dit que\\
\\
le produit infini $\prod_{n=0}^\infty f_n$ converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact si et seulement si :\\
\\
Pour tout compact $K\subset \Omega$, $\exists n_0$ : $\forall n\geq n_0$ $\forall z\in K$ : $Re(f_n(z))>0$ et $\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))$ converge uniformément (resp. normalement) sur $K$.
\end{definition}

\begin{theoreme}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)_n$ une suite de fonctions holomorphes sur $\Omega$, tel que le produit infini $\prod_{n=0}^\infty f_n$ converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact alors la limite $\Pi(z)=\prod_0^\infty f_n(z)$ est holomorphe sur $\Omega$ et \\
($\Pi(z)=0$)$\Leftrightarrow$ ($\exists n$ : $f_n(z)=0$).\\
\\
De plus si $\Omega$ est connexe et $f_n\not\equiv 0$ alors $\Pi'(z)/\Pi(z)$ est méromorphe sur $\Omega$ : $\Pi'(z)/\Pi(z)=\sum_n f_n'/f_n$ qui est une série qui converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact (sens méromorphe).
\end{theoreme}

\begin{preuve}
Soit $\overline{ D(z_0,r)}\subset \Omega$ alors il existe $n_0$ tel que $\forall z\in \overline{ D(z_0,r)}$ : $Re(f_n(z))>0$ donc $\log( f_n(z))$ a un sens et $\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))$ converge uniformément (resp. normalement) sur $\overline{ D(z_0,r)}$. Par conséquent, sur $\overline{ D(z_0,r)}$, par le théorème de Heine
$$
\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))\to_{Conv.\;\;unif.\;(resp.\;norm.)} g(z)\Rightarrow e^{\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))}\to_{Conv.\;\;unif.\;(resp.\;norm.)} e^g(z),
$$
et 
$$
\Pi(z)=\prod_0^\infty f_n(z)=\underbrace{\prod_0^{n_0-1} f_n(z)}_{\textrm{les zéros se trouvent là}}\prod_{n_0}^\infty f_n(z)=[\prod_0^{n_0-1} f_n(z)] \underbrace{e^{\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))}}_{\textrm{ne s'annule pas}},
$$
le produit des premiers termes est holomorphe (produit fini) et l'exponentielle de la somme est holomorphe par limite uniforme (reps. normale) de série de fonctions holomorphe, donc $\Pi$ est holomorphe.\\
\\
Sur $B(z_0,r/2)\subset \bar B(z_0,r)$, on a $(\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z)))'=\sum_{n\geq n_0}\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}$ (la convergence étant uniforme (resp. normale) sur tout compact de $D(z_0,r/2)$ et on trouve la décomposition : partie holomorphe et méromorphe suivante
$$
\Pi'(z)/\Pi(z)=\frac{(\prod_0^{n_0-1} f_n(z))'}{\prod_0^{n_0-1} f_n(z)}+\frac{(e^{\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))})'}{e^{\sum_{n\geq n_0} \log(f_n(z))}}=\sum_{n\leq n_0-1} f_n'/f_n+\sum_{n\geq n_0} f_n'/f_n.
$$
\qed
\end{preuve}


\begin{proposition}\label{prop1vn}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(v_n)_n\subset \mathcal H(\Omega)$ alors\\
 $\prod(1+v_n(z))$ converge unif. (resp. normal.) sur tout compact de $\Omega$ $\Leftrightarrow$ $\sum_n v_n$  converge unif. (resp. normal.) sur tout compact de $\Omega$.

\end{proposition}
Voir prop. \ref{prodtosum}.


\begin{exemple}\label{exempleImp}On a
$$
\Pi(z)=\prod_{n\in\mathbb N} (1-\frac{z^2}{n^2})=\frac{\sin(\pi z)}{\pi}.
$$
En effet, en fixant $R>0$, $\mid z_2\mid/n^2\leq R^2/n^2$ pour $\mid z\mid\leq R$ et il y a convergence normale sur les compact (sens holomorphe) et la limite est holomorphe sur $\mathbb C$ et s'annule sur $\mathbb Z$ donc
$$
\Pi'(z)/\Pi(z)=\sum_n 2z/(z^2-n^2)=1/\tan(\pi z)-1/z=(\sin(\pi z)/z)'/(\sin(\pi z)/z),\quad z\in\mathbb C/\mathbb Z,
$$ 
donc $\Pi/(\sin(\pi z)/z))'=0$ sur $\mathbb C/\mathbb Z$ ouvert connexe or $\Pi(0)=\sin(\pi z)/z\mid_{z=0}=1$ donc $\Pi/(\sin(\pi z)/z)=1$.
\end{exemple}

\section{Produit de Weirstrass}


\begin{lemme}
$E_p(z)=(1-z)e^{\sum_{j=1}^p z^j/j}$ vérifie $\mid1-E_p(z)\mid<\mid z\mid^{p+1}$ si $\mid z\mid<1$.

\end{lemme}
\begin{preuve}
On a
$$
E'_p(z)=-z^pe^{\sum_{j=1}^p z^j/j},
$$
donc
$$
\mid E_p(z)-E_p(0)\mid=\mid z^{p+1}\int_0^1 t^pe^{\sum_{j=1}^p z^jt^j/j}dt\mid\leq \mid z^{p+1} \mid\int_0^1 t^p \mid e^{\sum_{j=1}^p z^jt^j/j} \mid dt,
$$
or par produite de DSE, on a
$$
e^{\sum_{j=1}^p z^jt^j/j} =\sum_k a_k (zt)^k,
$$
avec $a_k\geq0$ donc $\mid e^{\sum_{j=1}^p z^jt^j/j} \mid\leq e^{\sum_{j=1}^p \mid z^j \mid t^j/j}$ et
$$
\mid E_p(z)-E_p(0)\mid\leq \mid z^{p+1} \mid\int_0^1 t^p \mid e^{\sum_{j=1}^p t^j/j} \mid dt< \mid z^{p+1} \mid,\quad \mid z\mid<1.
$$
\qed
\end{preuve}





\begin{theoreme}(Théorème de Weirstrass) Soit $(z_j)_{j\in \mathbb N}$ une suite de complexe et $(m_j)_j$ un suite d'entiers non nuls tel que $\mid z_j\mid\to_{j\to\infty}\infty$ et $z_j\not= z_k$ si $j\not=k$ ALORS il existe une fonction holomorphe telle que 
$$
f^{-1}(0)=\{(z_j)_j\},
$$
avec $z_j$ de multiplicité $m_j$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Quitte à multiplier la fonction par $z^{m_j}$ on peut supposer que les $z_j$ sont non nuls. \\
On montre que pour $p_j=m_j+j$,
$$
\prod_j (E_{p_j}(z/z_j))^{m_j}
$$
converge normalement sur les compacts, pour cela il suffit de s'intéresser au logarithme
$$
\sum_j m_j\log(E_{p_j}(z/z_j)),
$$
ou de manière équivalente pour
$$
\sum_j m_j(1-E_{p_j}(z/z_j)).
$$
Soit $R>0$, il existe $j_0$ tel que pour tout $j\geq j_0$ : $\mid z_j\mid\geq 2R$ et $\mid z/z_j\mid<1/2$ pour $z\in \bar B(0,R)$ donc par le lemme précédent 
$$
m_j\mid1-E_{p_j}(z/z_j)\mid<\mid z/z_j\mid^{p_j+1}\leq m_j(1/2)^{p_j+1}\leq (m_j/2^{m_j})(1/2^j)\leq 1/2^{j+1},
$$
on a donc convergence normale sur tout compact et $Re(E_p(z/z_j))\geq1/2>0$.
\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}Soit $f$ un fonction méromorphe sur $\Omega$ alors il existe $g,h\in\mathcal H(\Omega)$ telle que $f=g/h$.
\end{corollaire}
\begin{preuve}
Les pôles sont formés de points isolés, qui vérifient les hypothèses du théorème de Weirstrass, et donc $h(z)=\prod_j E_p(z/z_j)^m_j$ et $g=fh$ peut se prolonger en une fonction holomorphe sur $\Omega$ : les singularités sont effaçables.\qed
\end{preuve}

\paragraph{Exemple} 

\begin{proposition}
Soit
$$
\Pi(z)=z(z+1)\prod_{j\geq2}(1+z/j)(1-/j)^z,
$$
qui converge normalement sur les compact. On pose
$$
\Gamma(z)=1/\Pi(z).
$$
 \end{proposition}
\begin{preuve}
On a\\
a) $\mid e^u-1-u\mid\leq \mid u\mid^2 e^{\mid u\mid}/2,\quad \forall u\in\mathbb C$\\
b) $\mid \log(1-x)+x\mid \frac{1}{2}\big(x^2/(1-x^2)\big)$\\
c) $ $
donc
$$
(1-1/j)^z=e^{z\log(1-1/j)}=1+z\log(1-1/j)+\epsilon(z)\mid z\log(1-1/j)\mid^2 e^{\mid \log z(1-1/j)\mid}/2,\quad \mid\epsilon(z)\mid\leq1,
$$
avec
$$
z\log(1-1/j)=z/j+z/2 \epsilon'(z)\mid z/j^2\mid,\quad \mid\epsilon'(z)\mid\leq 1,
$$
et
$$
u_j(z)=\epsilon(z)\mid z\log(1-1/j)\mid^2 e^{\mid \log z(1-1/j)\mid}/2,\quad v_j(z)=z/2 \epsilon'(z)\mid z\mid/j^2,
$$
sont les termes généraux de séries normalement convergente sur tout compact de $K$ de $\mathbb C$. Par conséquent
$$
(1+z/j)(1-1/j)^z=1-\underbrace{z^2/j^2+ (z/j+1)Reste(z,j)}_{\textrm{Convergence sur tout compact } :\; O(1/j^2)}
$$
et par la proposition \ref{prop1vn} on a la convergence du produit.\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}\label{propGammaMero}On a
$$
\Gamma(z)=\frac{1}{z(z+1)\prod_{j\geq2}(1+z/j)(1-/j)^z}\in Meromorphe(\mathbb C),
$$
les pôles sont sur $\mathbb N$. La fonction $\Gamma$ ne s'annule pas.
\end{proposition}
Car $\Pi$ est holomorphe sur $\mathbb C$ (pas de singularité).

\begin{proposition}On a
$$
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\quad \Gamma(1)=1\;et\;\Gamma(n)=(n-1)!
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
On a
$$
z(z+1)\prod_{j=2}^n(1+z/j)(1-/j)^z=z\prod_{j=1}^n(1+z/j)\frac{\prod_{j=2}^n(j-1)^z}{\prod_{j=2}^n(j)^z}=\frac{z}{n^z}\prod_{j=1}^n(1+z/j),
$$
donc
$$
\Gamma(z)/z\Gamma(z+1)=\lim_{n\to\infty}\frac{z\frac{z+1}{n^{z+1}}\prod_{j=1}^n(1+(z+1)/j)}{\frac{z}{n^z}\prod_{j=1}^n(1+z/j)}=\frac{n+z+1}{n}\to_{n\to\infty} 1,
$$
$$
\frac{1}{n^1}\prod_{j=1}^n(1+1/j)=(n+1)/n\to1=1/\Gamma(1),
$$
et en combinant les deux résultats, on trouve $\Gamma(n)=(n-1)!$.\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}(Formule des compléments) On a
$$
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin(\pi z),\quad \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}En effet, en utilisant la proposition \ref{propGammaMero} et l'exemple \ref{exempleImp} on trouve que
$$
\Gamma(z)\Gamma(-z)=-\frac{1}{z^2(1-z^2)\prod_{j\geq2}(1-(z/j)^2)(1-/j)^z}=-\pi/(z\sin(\pi z)),
$$
or $\Gamma(-z+1)=-z\Gamma(-z)$ ce qui montre le premier résultat. En posant $z=1/2$ dans la formule des compléments on trouve le second.\qed
\end{preuve}



\chapter{L'espace $\mathcal H(\Omega)$}

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $K_n$ une suite exhaustive de compacts (voir annexe) de $\Omega$ alors
$$
d(f,g)=\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}\frac{\sup_{K_n}\mid f-g\mid}{1+\sup_{K_n}\mid f-g\mid}\subset \mathbb R^+,
$$
définit une distance sur $\mathcal H(\Omega)$.
\begin{preuve}
Il suffit d'avoir l'inégalité triangulaire (les autres propriétés étant triviale) or $c\leq a+b$ implique $c/(1+c)\leq a/(1+a)+b/(1+b)$, car $x\to x/(1+x)$ est croissante sur $\mathbb R^+$ et pour tout $a,b>0$, on a
\begin{multline*}
(1+a)(a+b)/(a(1+a+b))-1=[(1+b/a)(1+a)-1-a-b]/(1+a+b)\\=(b/a)1/(1+a+b)\leq(b/a)(1+a)/(1+b)
\end{multline*}
donc
$$
(a+b)/(1+a+b)\leq a/(1+a)+b/(1+b).
$$
\qed
\end{preuve}


\begin{proposition}
Soit $(f_p)_p\subset\mathcal H(\Omega)$ et $f\in\mathcal H(\Omega)$ alors
$$
f_n\to_{Conv.\;unif.\;compact}f\Leftrightarrow d(f_p,f)\to_{p\to\infty}0.
$$
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
$\Rightarrow$ $\sum\lim_p=\lim_p\sum$ par convergence dominée \\
$\Leftarrow$ $\sup_{K_n}\mid f_p-f\mid\to0$ et la suite $K_n$ est exhaustive (tout compact peut être inclue dans un $K_n$).\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}
$(\mathcal H(\Omega),d)$ est complet.
\end{proposition}
\begin{preuve}$\;$\\
Une suite de Cauchy, est telle que $f_p$ est une suite de Cauchy sur tout compact donc converge uniformément sur tout compact et la limite est holomorphe.\qed
\end{preuve}


\begin{definition}
Un suite de fonction holomorphe sur $\mathbb C$ telle que
$$
\forall K\subset \Omega \;compact\;\;\exists C_K\geq0\;:\;\sup_K\mid f_n\mid\leq C_K,
$$
est  une {\bf famille normale}.
\end{definition}

\begin{theoreme}(Théorème de Montel) 
Soit $(f_p)_p$ une famille normale alors il existe une sous suite de $(f_p)_p$ qui converge uniformément sur tout compact vers une fonction holomorphe sur $\Omega$.
\end{theoreme}
Par conséquent une suite bornée est compacte!!! 
\begin{corollaire}
$A\subset\mathcal H(\Omega)$ est d'adhérence compacte si et seulement si $\forall K\subset \Omega \;compact\;\;\exists C_K\geq0\;:\;\sup_K\mid f_n\mid\leq C_K.$
\end{corollaire}
\begin{preuve}(du théorème de Montel)\\
\\
{\bf- Etape1 :}
\begin{lemme}
Soit $f\in\mathcal H(B(z_0,r))$ borné par $M$ et $A\subset \bar B(z_0,r/2)$ alors
$$
\sup_{\bar B(z_0,r/2)}\mid f\mid\leq \sup_{A}\mid f\mid +\frac{2M}{r}\sup_{z\in \bar B(z_0,r/2)}\mid d(z,A)\mid.
$$

\end{lemme}
{\bf preuve du lemme : }En utilisant l'inégalité de Cauchy, on a
$$
\mid f'(\eta)\mid\leq \frac{2M}{r},\quad\eta\in\bar B(z_0,r/2),
$$
et $f(z)-f(a)=\int_[a,z] f'(\eta)d\eta$ par intégration, implique que pour tout $z\in\bar B(z_0,r/2)$ (donc pour le $\sup$), on a
$$
\mid f(z)\mid\leq \mid f(a)\mid +\frac{2M}{r}\mid z-a\mid\leq \sup_{A}\mid f\mid +\frac{2M}{r}\sup_{z\in \bar B(z_0,r/2)}\mid d(z,A)\mid.
$$
\qed
\begin{lemme}
Soient \\
1- $B\subset \bar B(z_0,r/2)$ et $\bar B= \bar B(z_0,r/2)$\\
2- $(f_p)_p \subset \mathcal H(B(z_0,r))$ borné par $M$ \\
3- pour tout $b\in B$, la suite $f_p(b)$ converge\\
ALORS\\
\\
La suite $(f_p)_p$ converge uniformément sur $\bar B(z_0,r/2)$ vers une fonction holomorphe.
\end{lemme}
{\bf preuve du lemme : } On montre que la suite est de Cauchy. \\
i) Puisque $B$ est dense dans $\bar B(z_0,r/2)$, pour tout $\epsilon>0$ on peut en extraire un sous ensemble $A_\epsilon=\{b_1,...,b_{n(\epsilon)}\}$ tel que $\sup_{z\in \bar B(z_0,r/2)}\mid d(z,A_\epsilon)\mid<\epsilon/2$.\\
ii) De plus, par convergence simple sur $B$, et puisque $A_\epsilon$ est un ensemble fini, il existe $N(\epsilon,n(\epsilon))$ tel que 
$$
\forall b\in A_\epsilon\quad\forall p\geq q\geq N(\epsilon)\;:\;\sup_{A_\epsilon}\mid f_p-f_q\mid<\epsilon/2.
$$
En utilisant le lemme précédent avec $A=A_\epsilon$, on trouve

$$
\sup_{\bar B(z_0,r/2)}\mid f_p-f_q\mid\leq \sup_{A}\mid f_p-f_q\mid +\frac{2M}{r}\sup_{z\in \bar B(z_0,r/2)}\mid d(z,A)\mid<\epsilon,
$$
donc 
$$
\forall \epsilon,\;\exists N(\epsilon)\;\;\forall p\geq q\geq N(\epsilon)\;\;\sup_{\bar B(z_0,r/2)}\mid f_p-f_q\mid<\epsilon.
$$
\qed

\begin{lemme}
Soient \\
1- $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $B$ un sous ensemble dense dans $\Omega$\\
2- $(f_p)_p \subset \mathcal H(B(z_0,r))$ borné sur les compacts de $\Omega$ \\
3- pour tout $b\in B$, la suite $f_p(b)$ converge\\
ALORS\\
\\
La suite $(f_p)_p$ converge uniformément sur les compact de $\Omega$ vers une fonction holomorphe.
\end{lemme}
{\bf preuve du lemme : } 
Il suffit de se restreindre aux boules $B(z_0,r)$ et noter que $B\bigcap B(z_0,r/2)$ est dense dans $\bar B(z_0,r)$.\qed
$\;$\\
\\
{\bf preuve du théorème : } Soit $B=\Omega\bigcap\mathbb Q$ dénombrable dense dans $\Omega$, alors
$$
B=\{b_1,b_2,...\},
$$
et puisque la suite $(f_p(b_1))_p$ est bornée, on peut en extraire une sous suite convergente $(f_{\phi_0(p)}(b_1))_p$. Puisque la suite $(f_{\phi_0(p)}(b_2))_p$ est bornée, on peut en extraire une sous suite convergente $(f_{\phi_0(\phi_1(p))}(b_2))_p$... par procédé diagonal : on pose $\psi(p)=\phi_0o\phi_1...o\phi_p(p)$ on a 
$$
\forall b\in B\;\;\textrm{la suite }f_{\psi_p(p)}(b)\textrm{ convergente}.
$$

\end{preuve}


\chapter{Compléments}

\begin{definition}
Un ouvert de $\mathbb C$ est dit {\bf propre} si il est non vide et non $\mathbb C$.
\end{definition}


\begin{theoreme}(Riemann) Soit $\Omega$ un ouvert propre, connexe, simplement connexe alors il existe une application biholomorphe $\psi:\Omega\to D(0,1)$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}$\;$\\
On montre que l'ensemble suivant 
$$
\Sigma=\big\{f\in \mathcal H(\Omega)\;\;:f(\Omega)\subset D(0,1)\;\;et\;\;f\;\;injective\big\},
$$
vérifie :\\
1- $\Sigma\not=\emptyset$\\
2- Si $z_0\in\Omega$ alors $\{\mid f'(z_0)\mid,\quad f\in\Sigma\}$ est borné par un réel $m$ qui est atteint par une fonction de $\Sigma$.\\
3- Si $\Psi\in\Sigma$ et $\Psi'(z_0)=m$ alors $\Psi$ est biholomorphe de $\Omega$ sur $D(0,1)$.\\
\\
{\bf - Etape 1 :  $\Sigma\not=\emptyset$} 

Puisque l'ouvert est propre, il existe $z_1\in \mathbb C/\Omega$, donc $z\to z-z_1$ est une fonction holomorphe se s'annulant pas sur $\Omega$. En utilisant le corollaire \ref{Refcory1} ($\Omega$ est simplement connexe), il existe un logarithme de $z-z_1$ sur $\Omega$ et donc une racine carré de $z-z_1$ holomorphe sur $\Omega$ : $g$ et
$$
g^2(z)=z-z_1.
$$
La fonction $g$ est clairement injective et holomorphe, est $\Omega$ est un ouvert connexe (et $g'$ ne s'annule pas) donc elle est donc localement bijective (voir corollaire \ref{corou1}) et donc ouverte : $O=g(\Omega)$ est un ouvert.

\begin{lemme}Soit $O=g(\Omega)$ alors
$$
O\bigcap(-O)=\emptyset.
$$
\end{lemme}
En effet, si $x\in O\bigcap(-O)$ alors il existe $\eta_1$ et $\eta_2$ tels que $g(\eta_1)=x$, $-g(\eta_2)=x$ donc en passant au carré : $\eta_1-z_1=\eta_2-z_2=x^2$ donc $\eta_1=\eta_2$ et : $x=-x=0$ or $g$ ne s'annule pas : donc $O\bigcap(-O)=\emptyset.$\qed
$\;$\\
\\
Par conséquent, il existe $D(z_2,r)\subset \mathbb C/g(\Omega)$ avec $r>0$ et la fonction
$$
h(z)=\frac{r/2}{g(z)-z_2},
$$
est holomorphe et injective sur $\Omega$ et $\mid h(z)\mid\leq 1/2<1$ donc $\Sigma$ est non vide.
\\
\\
{\bf - Etape 2 :  $\{\mid f'(z_0)\mid,\quad f\in\Sigma\}$ est borné} 
Soit $z_0\in \Omega$ alors il existe $r>0$ tel que $\bar D(z_0,r)\subset \Omega$ et pour tout $f\in \Sigma$, par l'inégalité de Cauchy, on a
$$
\mid f'(z_0)\mid\leq\frac{1}{r}\sup_{\bar D(z_0,r)}\mid f\mid\leq \frac{1}{r}\quad \textrm{borné},
$$
donc $\{\mid f'(z_0)\mid,\quad f\in\Sigma\}$ est un ensemble borné de $\mathbb R_+$, il admet une borne supérieure $m$
\\
\\
{\bf - Etape 3 :  la borne sup est atteinte :}  Soit $f_n$ une suite de $\Sigma$ telle que $\mid f'_n(z_0)\mid\to_{n\to\infty} m$ (limite par valeur inférieure) alors $f_n(\Omega)\subset D(0,1)$ est donc une suite bornée sur les compact de $\Omega$ : on peut en extraire une sous suite convergente (théorème de Montel) uniformément sur tout compact de $\Omega$ et la limite $f$ est holomorphe sur $\Omega$. La limite $f$ vérifie :\\
\\
i) $f\in\mathcal H(\Omega)$\\
ii) en passant à la limite pour la sous suite $\mid f'(z_0)\mid=m$\\
iii) on a une suite de fonctions injectives convergeant uniformément sur les compact: la limite est injective ou constante (voir corollaire {corolt2}). Or $m>0$ car la dérivée de la fonction $h$ ne peut s'annuler donc le $m=\sup\mid f'(z_0)\mid\geq \mid h'(z-0) \mid >0$ et $f$ ne peut être constante.
iv) on a une suite de fonctions telles que $f_n(\Omega)\subset D(0,1)$ convergeant uniformément sur les compact: la limite vérifie $f(\Omega)\subset D(0,1)$ ou est constante. Par le point précédent, elle ne peut être constante donc $f(\Omega)\subset D(0,1)$. Finalement, on a
$$
f\in\Sigma,\quad \mid f'(z_0)\mid=m=\max\{\mid f'(z_0)\mid,\quad f\in\Sigma\}.
$$
$\;$\\
\\
{\bf - Etape 4 : Surjectivité :} Soit $\Psi\in\Sigma,\quad \mid \Psi'(z_0)\mid=m=\max\{\mid f'(z_0)\mid,\quad f\in\Sigma\}$ et $\Psi$ non surjective sur $D(0,1)$ alors il existe $z_1\in D(0,1)/\Psi(\Omega)$ et
$$
A_{z_1}:z\to\frac{z-z_1}{1-\bar z_1z}
$$
vérifie $A_{z_1}o\Psi\in\Sigma$. Puisque $\Omega$ est simplement connexe, il existe $\phi\in\mathcal H(\Omega)$tel que
$$
\phi^2=A_{z_1}o\Psi,\quad sur\;\;\Omega.
$$ 
La fonction $\phi$ est injective et $\phi\in\Sigma$ $\phi(z_0)=z_2$. Soit $\Theta $ la fonction
$$
\Theta(z)=A_{z_2}o\phi\in\Sigma,
$$
avec $A_{z_2}$ définit comme $A_{z_1}$. On a
$$
\phi^2=(A^{-1}_{z_2}o\Theta)^2\quad et\quad \Phi=A_{z_1}^{-1}o(A^{-1}_{z_2}o\Theta)^2,
$$
donc pour $S(z)=z^2$, on trouve que
$$
\Psi=A_{z_1}^{-1}oSoA^{-1}_{z_2}o\Theta=Fo\Theta,
$$
et
$$
\Psi'(z_0)=F'(\Theta(z_0))\Theta'(z_0)=F'(0)\Theta'(z_0).
$$
\begin{lemme}
On a $\mid F'(0)\mid<1$ (et donc $\mid\Theta'(z_0) \mid > \mid \Psi'(z_0) \mid $ ce qui est absurde par maximalité).
\end{lemme}
On a $F=A_{z_1}^{-1}oSoA^{-1}_{z_2}$ qui est une fonction holomorphe de $D=D(0,1)$ dans $D$

- si $F(0)=0$ alors par le lemme de Schwarz \ref{lemmedeSch}, si $\mid F'(0)\mid=1$ alors $F(z)=ze^{iu}$ avec $u\in\mathbb R$ or $F$ n'est pas injective car $S$ ne l'est pas donc $\mid F'(0)\mid<1$. 

- si $F(0)=\alpha\not=0$ alors $A_\alpha:z\to (z-\alpha)/(1-\bar\alpha z)$ vérifie $A_\alpha oF:D\to D$ et $A_\alpha oF(0)=0$ donc par le lemme de Schwarz \ref{lemmedeSch} : $\mid(A_\alpha oF)'(0)\mid\leq1$ or $A_\alpha'(\alpha)=1/(1-\mid\alpha\mid^2)$ donc $\mid F'(0)\mid\leq (1-\mid\alpha\mid^2)\leq1$ (et l'égalité implique $\alpha=0$ cas précédent). Par conséquent on a également $\mid F'(0)\mid<1$.

Ceci montre que l'hypothèse : non surjective est absurde et $\Psi$ est bijective et biholomorphe.\qed

\end{preuve}


\begin{corollaire}
On a \\
a) $\Psi(z_0)=0$\\
b) $g\in \mathcal H(\Omega)$ : $g(\Omega)\subset D(0,1)$ alors $\mid g'(z_0)\mid\leq m$ (et égalité si et seulement $g$ est biholomorphe)
\end{corollaire}
\begin{preuve}$\;$\\
a) $\Psi(z_0)=\alpha\not=0$ alors $A_\alpha o\Psi\in\Sigma$ et $\mid  (A_\alpha o\Psi)'(z_0)\mid=\frac{1}{1-\mid\alpha \mid^2}m>m$ (c'est absurde par maximalité)\\
\\
b) Soit $h=go\Psi^{-1}:D\to D$ alors  $\mid h'(0)\mid\leq 1$ et $=1$ si et seulement si $h(z)=ze^{iu}$ or
$$
\mid h'(0)\mid=\mid g'(z_0)\mid/\mid \Psi'(z_0)\mid\leq 1.
$$
\qed
\end{preuve}

\begin{corollaire}Soit $\Omega$ un ouvert propre connexe, alors\\
1- $\Omega$ simplement connexe\\
$\Downarrow$
2- $\forall\Gamma$ cycle de $\Omega$ et pour tout $z\not\in\Omega$ $Ind_\Gamma(z)=0$\\
$\Downarrow$
3- $\forall f\in\mathcal H(\Omega)$ $f$ admet une primitive holomorphe\\
$\Downarrow$
4- toute fonction holomorphe ne s'annulant pas admet un logarithme\\
$\Downarrow$
5- toute fonction holomorphe ne s'annulant pas admet une racine carré\\
$\Downarrow$
6- il existe $\Psi:\Omega\to D(0,1)$ biholomorphe
$\Downarrow$
4-\\
$\Downarrow$
2.
\end{corollaire}
\begin{preuve}$\;$\\
1-$\Rightarrow$2-$\Rightarrow$3-$\Rightarrow$4-$\Rightarrow$5-$\Rightarrow$6- Déjà vu dans le cours.\\
6-$\Rightarrow$4- Soit $f\in\mathcal H(\Omega)$ telle que $f(\Omega)\subset\mathbb C^*$ et $\Psi$ biholomorphe de $\Omega$ sur $D(0,1)$ alors
$$
fo\Psi^{-1}\in\mathcal H(D),
$$
et ne s'annule pas, $D$ est un ouvert étoilé donc il existe $g$ holomorphe sur $D$ telle que $e^g=fo\Psi^{-1}$ et $f=e^{go\Psi}$ (voir conséquences du théorème de Cauchy \underline{Local}).\\
4-$\Rightarrow$2- $z\to 1/(z-z_0)$ est holomorphe et ne s'annule pas donc elle admet une primitive holomorphe et l'indice est nul et $Ind_\Gamma(z_0)=\int_\Gamma 1/(z-z_0)dz=0$. \qed
\end{preuve}

\paragraph{Autres conséquences} Automorphismes de $\Omega$ : 
$$
Aut(\Omega):=\{f\in\mathcal H(\Omega)\;\;:\;\;f\;bijective\;\;de\;\;\Omega\;\;sur\;\;\Omega\},
$$
Puisque $Id:z\to z$ est dans $Aut(\Omega)$ cet ensemble est non vide. C'est un groupe pour la composition $(Aut,o)$.\\
\\
1- Si $\Omega=D(0,1)$ alors les automorphismes sont de la forme :\\
$$\phi(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar a z},\quad \mid a\mid<1,\;\;\theta\in\mathbb R.$$
2- Si $\Omega$ est connexe, simplement connexe et propre alors les automorphismes sont de la forme :
$$
g(z)=\Psi^{-1}\big(e^{i\theta}\frac{\Psi(z)-a}{1-\bar a \Psi(z)}\big).
$$
Il suffit de se ramener au disque par composition par $\Psi:\Omega\to D$ biholomorphe.\\
\\
3- $P_+=\{z\in\mathbb C\;:\; Im(z)>0\}$ (cas 2-)
$$
\Psi(z)=(i-z)/(i+z)
$$
et les automorphismes de $P_+$ sont de la forme
$$
\phi(z)=(az+b)/(cz+d),\quad a,b,c,d\in\mathbb R\;\;ad-bc>0.
$$
4- $Aut(\mathbb C)=\{z\to az+b\}$\\
\\
En effet, si $\phi\in Aut(\mathbb C)$ alors $\phi(1/z)$ admet une singularité qui ne peut être ni essentielle ni un pôle d'ordre strictement plus grand que $1$ (sinon $\phi(1/z)$ n'est pas injective) donc $\phi(1/z)-a/z$ est holomorphe sur $\mathbb C$ et borné : c'est une constante (Liouville).\\
\\
5- $Aut(D(0,1)/\{0\})=\{z\to ze^{i\theta}\}$\\
\\
6- pour une couronne $C_1=D(0,r_1,r_2)$ et $C_2=D(0,R_1,R_2)$ : il existe une fonction biholomorphe de $C_1$ sur $C_2$ si et seulement si $r_1/r_2=R_1/R_2$.
$$\;$$
$$\;$$
$$\;$$
$$\;$$

\begin{center}

{\Huge The END}
\end{center}









\chapter{Annexe}

\section{topologie}

\begin{definition}Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, on dit que $(K_n)_n$ est une suite {\bf exhaustive de compact} de $\Omega$ si\\
1- $K_n$ est compact\\
2- $K_n\subset \mathring{K}_{n+1}$\\
3- $\bigcup_n K_n=\Omega$
\end{definition}

\begin{proposition}
Soit $K$ un compact de $\Omega$ et $K_n$ une suite exhaustive de compacts de $\Omega$ alors il existe $n$ tel que $K\subset K_n$.
\end{proposition}
\begin{preuve}
En effet, $K \subset\bigcup_n \mathring{K}_{n+1}$ donc par Borel Lebesgue $K \subset\bigcup_{finie} \mathring{K}_j$ et donc il existe $n$ tel que $K\subset \mathring{K}_n\subset K_n$.\qed
\end{preuve}

\begin{proposition}
Tout ouvert de $\mathbb C$ possède une suite exhaustive de compact.
\end{proposition}
\begin{preuve}
Si $\Omega=\mathbb C$, c'est direct $K_n=\bar B(0,n)$. Sinon, on pose
$$
K_n=\big\{z\;\;:\;\; dist(z,\mathbb C/\omega)\geq 1/(n+1) \big\}\bigcap \bar B(0,n).
$$
\qed
\end{preuve}


\end{document}
